Racine carrée de cinq

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La racine carrée de cinq, notée 5 ou 51/2, est un nombre réel remarquable en mathématiques et valant approximativement 2,236.

C'est un irrationnel quadratique et un entier quadratique.

Éléments introductifs[modifier | modifier le code]

Définition, notation et prononciation[modifier | modifier le code]

  • 5 se prononce « racine carrée de cinq » ; se prononçait aussi « radical de cinq ».
  • 5 se note également 51/2 (notation Unicode : 5½).

Valeur approchée[modifier | modifier le code]

5 vaut approximativement

Fraction continue[modifier | modifier le code]

Le développement en fraction continue de 5 est [2, 4] (suite A040002 de l'OEIS). Les réduites successives sont donc \frac21,\frac94,\frac{38}{17},\frac{682}{305},\frac{2889}{1292}\ldots

Approximation par la méthode de Héron[modifier | modifier le code]

La méthode de Héron permet de calculer la valeur approchée d'une racine carrée avec une grande précision et en peu de calculs ; elle est applicable à la racine carrée de 5.

Prenons la partie entière de 5,

x_{0}=2.

La méthode de Héron nous indique que x_{n+1} = \frac{x_n+ \frac{A}{x_n}}2.

Ici, A=5. Par itérations successives, on obtient :

  • x_1=\frac{2+\tfrac52}2=\frac94=2,25
  • x_2=\frac{\tfrac94+5\tfrac{4}9}2=\frac{161}{72}\approx 2,2361
  • x_3=\frac{\tfrac{161}{72}+5\tfrac{72}{161}}2=\frac{51841}{23184}\approx 2,236 067 977 9.

Le nombre d'or[modifier | modifier le code]

La racine carrée de 5 entre dans la composition du nombre d'or \varphi = \frac{1 + \sqrt5}2.

On trouve donc\sqrt5=2\varphi-1\quad{\rm et}\quad\sqrt5=\varphi+\frac1{\varphi}.

Preuve de l'irrationalité[modifier | modifier le code]

Supposons que 5 est rationnel et écrivons-le sous la forme d'une fraction irréductible m/n (PGCD(m, n) = 1). L'hypothèse 5 = m/n conduit à 5n2 = m2. Ainsi, 5 divise m2, donc divise m. On peut écrire m = 5r, soit 5n2 = (5r)2 = 25r2, n2 = 5r2, soit 5 divise n. Cela nous conduit à une absurdité puisque PGCD(m, n) est alors divisible par 5, contradictoirement avec l'hypothèse PGCD(m, n) = 1.

Trigonométrie[modifier | modifier le code]

Comme 2 et 3, la racine carrée de 5 est présente dans les formules pour les constantes trigonométriques exactes incluant des angles en degrés divisibles par 3 mais pas par 15. Les plus simples sont :

\sin\frac{\pi}{10}=\sin 18^\circ=\tfrac{1}{4}\left(-1+\sqrt5\right),
\sin\frac{\pi}{5}=\sin 36^\circ=\tfrac14\sqrt{2(5-\sqrt5)},
\sin\frac{3\pi}{10}=\sin 54^\circ=\tfrac14(1+\sqrt5),
\sin\frac{2\pi}{5}=\sin 72^\circ=\tfrac14 \sqrt{2 (5+\sqrt5)}.

Formules de Ramanujan[modifier | modifier le code]

La racine carrée de 5 est présente dans plusieurs formules données par Srinivasa Ramanujan impliquant des fractions continues généralisées :

\frac{1\mid}{\mid1}+\frac{{\rm e}^{-2\pi}\mid}{\mid1}+\frac{{\rm e}^{-4\pi}\mid}{\mid1}+\frac{{\rm e}^{-6\pi}\mid}{\mid1}+\cdots= \left(\sqrt{\frac{5+\sqrt5}2}-\frac{\sqrt5+1}2\right){\rm e}^{2\pi/5}={\rm e}^{2\pi/5}\left(\sqrt{\varphi\sqrt5}-\varphi\right).
\frac{1\mid}{\mid1}+\frac{{\rm e}^{-2\pi\sqrt5}\mid}{\mid1}+\frac{{\rm e}^{-4\pi\sqrt5}\mid}{\mid1}+\frac{{\rm e}^{-6\pi\sqrt5}\mid}{\mid1}+\cdots
=\left({\sqrt5\over1+\left[5^{3/4}(\varphi-1)^{5/2}-1\right]^{1/5}}-\varphi\right){\rm e}^{2\pi/\sqrt5}.

4\int_0^\infty\frac{x{\rm e}^{-x\sqrt5}}{\cosh x}\,{\rm d}x=\frac{1\mid}{\mid1}+\frac{1^2\mid}{\mid1}+\frac{1^2\mid}{\mid1}+\frac{2^2\mid}{\mid1}+\frac{2^2\mid}{\mid1}+\frac{3^2\mid}{\mid1}+\frac{3^2\mid}{\mid1}+\cdots.

Articles connexes[modifier | modifier le code]


(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Square root of 5 » (voir la liste des auteurs)