Racine carrée de cinq

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En mathématiques, la racine carrée de cinq, notée √5 ou 5^1/2, est un nombre réel remarquable ; c'est l'unique réel positif dont le carré est égal à 5. Il vaut approximativement 2,236.

C'est un irrationnel quadratique et un entier quadratique (entier algébrique de degré 2).

Éléments introductifs[modifier | modifier le code]

Définition, notation et prononciation[modifier | modifier le code]

Le nombre 5 ayant exactement deux racines carrées réelles, √5 et -√5, √5 devrait se prononcer « racine carrée positive de cinq », ou « racine carrée principale de cinq », mais il se prononce habituellement « racine carrée de cinq », voire « racine de cinq » pour simplifier. Une autre expression correcte, faisant référence au symbole √, est « radical de cinq», mais elle est peu courante.
√5 se note également 5^1/2 (notation Unicode : 5^½).
√5 s'écrit en général sqrt(5) dans les langages informatiques, pour le terme anglais "square root".

Valeur approchée[modifier | modifier le code]

√5 vaut approximativement

2,236 067 977 4 dans le système décimal (suite A002163 de l'OEIS),
10,00111100 dans le système binaire (suite A004555 de l'OEIS) et
2,3C6EF372FE94F82C dans le système hexadécimal.

Développement en fraction continue[modifier | modifier le code]

Le développement en fraction continue simple de √5 est [2, 4] (suite A040002 de l'OEIS).

Comme pour tout irrationnel quadratique (solution d'une équation de degré 2 à coefficients entiers), ce développement est périodique. La période est de longueur 1.

Les réduites successives sont : ${\frac {2}{1}},{\frac {9}{4}},{\frac {38}{17}},{\frac {161}{72}},{\frac {682}{305}},{\frac {2889}{1292}}\ldots$ Elles forment la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0}=2,u_{n+1}={\frac {2u_{n}+5}{u_{n}+2}}$ .

On a : $u_{n}={\sqrt {5}}{\frac {(2+{\sqrt {5}})^{n+1}+(2-{\sqrt {5}})^{n+1}}{(2+{\sqrt {5}})^{n+1}-(2-{\sqrt {5}})^{n+1}}}={\frac {\left\lfloor (2+{\sqrt {5}})^{n+1}\right\rceil }{\left\lfloor {\frac {(2+{\sqrt {5}})^{n+1}}{\sqrt {5}}}\right\rceil }}$ , où $\left\lfloor x\right\rceil$ est l'entier le plus proche de $x$ .

Les numérateurs forment la suite A001077 de l'OEIS et les dénominateurs la suite A001076 de l'OEIS.

Calcul d'une valeur approchée[modifier | modifier le code]

Méthodes générales[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Extraction de racine carrée.

Approximation par la méthode de Héron[modifier | modifier le code]

La méthode de Héron permet de calculer la valeur approchée d'une racine carrée avec une grande précision et en peu de calculs ; elle est applicable à la racine carrée de 5.

Prenons la partie entière de √5, $x 0 = 2$ .

La méthode de Héron consiste à calculer les termes successifs d'une suite approchant $\sqrt A$ par la formule de récurrence :

x_{n+1}={\frac {x_{n}+{\frac {A}{x_{n}}}}{2}}.

avec ici, $A = 5$ . Par itérations successives, on obtient :

$x_{1}={\frac {2+{\tfrac {5}{2}}}{2}}={\frac {9}{4}}=u_{1}=2,25$
$x_{2}={\frac {{\tfrac {9}{4}}+5{\tfrac {4}{9}}}{2}}=u_{3}={\frac {161}{72}}\approx 2,236\,1$
$x_{3}={\frac {{\tfrac {161}{72}}+5{\tfrac {72}{161}}}{2}}={\frac {51841}{23184}}=u_{7}\approx 2,236\,067\,977\,9.$

On a .

Les numérateurs forment la suite A081459 de l'OEIS, et les dénominateurs la suite A081460 de l'OEIS.

$(x_{n})$ est une sous-suite de $(u_{n})$ : $x_{n}=u_{(2^{n}-1)}$ , décroissant rapidement vers √5 (convergence quadratique). Une suite croissante associée est $(5/x_{n})$ , d'où l'encadrement : $5/x_{n}<{\sqrt {5}}<x_{n}$ . Pour $n=3$ , cet encadrement permet déjà d'obtenir ${\sqrt {5}}\approx 2,236\,067\,98$ .

Méthode spécifique[modifier | modifier le code]

Par la suite de Fibonacci[modifier | modifier le code]

La formule suivante, démontrée initialement par Paul Erdős, relie √5 aux inverses des termes de la suite de Fibonacci dont l'indice est une puissance de 2^[1]:

\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{F_{2^{k}}}}={\frac {7-{\sqrt {5}}}{2}}

Cela donne la formule : ${\sqrt {5}}=7-2\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{F_{2^{k}}}}\right)$ qui converge très vite, puisque les 6 premiers termes donnent 13 décimales correctes et le 7^e donne les 13 suivantes^[a]^,^[b].

Lien avec le nombre d'or[modifier | modifier le code]

La racine carrée de 5 entre dans l'expression du nombre d'or $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.$

On trouve donc ${\sqrt {5}}=2\varphi -1\quad {\rm {et}}\quad {\sqrt {5}}=\varphi +{\frac {1}{\varphi }}.$

Preuve de l'irrationalité[modifier | modifier le code]

Supposons que √5 est rationnel et écrivons-le sous la forme d'une fraction irréductible m/n (c'est-à-dire que m et n sont premiers entre eux : PGCD(m, n) = 1). L'hypothèse √5 = m/n conduit à 5n² = m². Ainsi, 5 divise m², donc divise m d'après le lemme d'Euclide. On peut écrire m = 5r, soit 5n² = (5r)² = 25r², n² = 5r², soit 5 divise n. Cela nous conduit à une absurdité puisque PGCD(m, n) est alors divisible par 5, contradictoirement avec l'hypothèse PGCD(m, n) = 1.

D’une manière générale, la racine carrée d’un naturel qui n'est pas un carré parfait est un nombre irrationnel.

En effet, supposons qu'un naturel N ait une racine carrée qui s'écrive sous la forme d’une fraction m/n ; l’égalité m² = Nn² montre, grâce à l'unicité de la décomposition produit de facteurs premiers, que les exposants de la décomposition de N , qui sont différences de deux nombres pairs, sont pairs, et que donc N est un carré parfait. Comme 5 n'est pas un carré parfait, la racine carrée de 5 est irrationnelle.

Autre expression comme somme de série[modifier | modifier le code]

En utilisant la série génératrice des coefficients binomiaux centraux, on a :

{\sqrt {5}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\binom {2n}{n}}{5^{n}}}

Expressions par radicaux infiniment imbriqués[modifier | modifier le code]

$1+{\sqrt {5}}=2\varphi =2{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\cdots }}}}}}$ ; voir à Radical_imbriqué#Racine_carrée,
${\sqrt {5}}={\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{5\dots }}}}}}$ car ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots ={\frac {1}{2}}$ .

Trigonométrie[modifier | modifier le code]

Comme √2 et √3, la racine carrée de 5 est présente dans les formules pour les constantes trigonométriques exactes incluant des angles en degrés divisibles par 3 mais pas par 15. Les plus simples sont :

\sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }=\cos {\frac {2\pi }{5}}=\cos 72^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left(-1+{\sqrt {5}}\right),

\sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }=\cos {\frac {3\pi }{10}}=\cos 54^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}},

\sin {\frac {3\pi }{10}}=\sin 54^{\circ }=\cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\tfrac {1}{4}}(1+{\sqrt {5}}),

\sin {\frac {2\pi }{5}}=\sin 72^{\circ }=\cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}},

\tan {\frac {\pi }{5}}=\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}.

Formules de Ramanujan[modifier | modifier le code]

La racine carrée de 5 est présente dans plusieurs formules données par Srinivasa Ramanujan impliquant des fractions continues généralisées :

{\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-2\pi }\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-4\pi }\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-6\pi }\mid }{\mid 1}}+\cdots =\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right){\rm {e}}^{2\pi /5}={\rm {e}}^{2\pi /5}\left({\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right).

{\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-2\pi {\sqrt {5}}}\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-4\pi {\sqrt {5}}}\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-6\pi {\sqrt {5}}}\mid }{\mid 1}}+\cdots =\left({{\sqrt {5}} \over 1+\left[5^{3/4}(\varphi -1)^{5/2}-1\right]^{1/5}}-\varphi \right){\rm {e}}^{2\pi /{\sqrt {5}}}.

4\int _{0}^{\infty }{\frac {x{\rm {e}}^{-x{\sqrt {5}}}}{\cosh x}}\,{\rm {d}}x={\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {1^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {1^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {2^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {2^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {3^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {3^{2}\mid }{\mid 1}}+\cdots .

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Square root of 5 » (voir la liste des auteurs).

Notes[modifier | modifier le code]

↑ La vitesse de convergence vient de ce que le terme général de la série décroit comme l'inverse d'une fonction exponentielle double.
↑ Dans la pratique, cette méthode présente cependant l'inconvénient de devoir manipuler de grands entiers.

Références[modifier | modifier le code]

↑ (en) Catalin Badea, « A theorem on irrationality of infinite series and applications », Acta Arithmetica, vol. 63,‎ 1993, p. 313-323 (lire en ligne).

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[2] La vitesse de convergence vient de ce que le terme général de la série décroit comme l'inverse d'une fonction exponentielle double.

[3] Dans la pratique, cette méthode présente cependant l'inconvénient de devoir manipuler de grands entiers.

[badea-1] (en) Catalin Badea, « A theorem on irrationality of infinite series and applications », Acta Arithmetica, vol. 63,‎ 1993, p. 313-323 (lire en ligne).

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[a]

[b]