Régularisation zêta

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La régularisation zêta est une méthode de régularisation des déterminants (en) d'opérateurs qui apparaissent lors de calculs d'intégrales de chemins en théorie quantique des champs.

Le cas du Laplacien[modifier | modifier le code]

Soit \Omega un domaine compact de \mathbb R^n à bord \partial \Omega. Sur ce domaine, on considère l'opérateur positif \hat{H} = - \ \Delta, où \Delta est le Laplacien, muni de conditions aux limites sur le bord \partial \Omega du domaine (Dirichlet, Neumann, mixtes) qui précisent complètement le problème.

Lorsque le domaine \Omega est compact, l'opérateur positif \hat{H} = - \ \Delta possède un spectre discret de valeurs propres auxquels est associée une base orthonormée de vecteurs propres (on utilise ici les notations de Dirac) :


\hat{H} \ | \psi_n \rangle \ = \ \lambda_n \ | \psi_n \rangle  \, , \quad 0 \le \lambda_1 \le \lambda_2 \le \dots \le \lambda_n \le \dots \le + \infty

Fonction zêta spectrale[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

On suppose ici que le fondamental \lambda_1 \ne 0. Par analogie avec la fonction zêta de Riemann, on introduit la fonction zêta spectrale par la série de type Dirichlet :


\zeta (s) \ = \ \sum_{n=1}^{+\infty} \ \frac{1}{\lambda_n^s}

Cette série ne converge que pour \Re \mathrm{e} \left[ \, s \, \right] suffisamment grand, mais elle admet un prolongement méromorphe au plan entier. Lorsque le spectre de l'opérateur \hat{H} n'est pas connu explicitement, on peut utiliser la définition formelle comme trace :


\zeta (s) \ = \ \mathrm{Tr} \ \exp \ \left[ \ - \ s \ \ln \hat{H} \ \right]

Lien avec le déterminant[modifier | modifier le code]

Le déterminant de l'opérateur H est défini par :


\mathrm{det} \  \hat{H} \ = \ \prod_{n=1}^{+\infty} \ \lambda_n

Avec l'identité :


\ln \ \mathrm{det} \  \hat{H} \ = \ \ln \ \left( \prod_{n=1}^{+\infty} \ \lambda_n  \right) \ = \ \sum_{n=1}^{+\infty} \ \ln \lambda_n  \ = \ \mathrm{Tr} \ \ln \  \hat{H}

on démontre facilement la relation formelle :


\mathrm{det} \  \hat{H} \ = \ \exp \, \left[ \, - \ \zeta'(0) \, \right]

où la dérivée de la fonction zêta est évaluée en s = 0.

Lien avec le noyau de la chaleur[modifier | modifier le code]

La fonction zêta est reliée par une transformée de type Mellin :


\zeta (s) \ = \ \frac1{\Gamma(s)} \ \int_0^{+\infty}\mathrm dt \ t^{s-1} \ \mathrm{Tr} \  e^{- \; t \; \hat{H}}

à la trace du noyau de la chaleur, définie par :


\mathrm{Tr} \  e^{- \; t \; \hat{H}} \ = \ \sum_{n=1}^{+\infty} \ e^{- \; t \; \lambda_n}

Lien avec l'intégrale[modifier | modifier le code]

Pour n entier, la régularisation zêta permet de donner un sens à des intégrales divergentes de la forme  \int_0^{\infty}\mathrm dx x^n\ :

 \int_0^{\infty}\mathrm dx x^{n} = \frac{n}2\int_0^{\infty}\mathrm dx x^{n-1}+ \zeta(-n) - \sum_{r=1}^{\infty}\frac{B_{2r}}{(2r)!} a_{n,r}(n-2r+1) \int_0^{\infty}\mathrm dx x^{n-2r} ,
a_{n,r}= \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n-2r+2)}.

Cette méthode a été introduite en théorie quantique des champs par des physiciens comme James Hartle et Emilio Elizalde. On peut l'utiliser pour régulariser le produit de deux distributions en utilisant le théorème de convolution avec intégrales divergentes  \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm dt(x-t)^{m}t^{n}

Extensions[modifier | modifier le code]

  • Toutes les définitions précédentes se transposent assez naturellement au cas de l'opérateur de Laplace-Beltrami sur une variété riemannienne compacte, qui possède alors également un spectre discret. Elles s'étendent également au cas des variétés non-compactes à bord lorsque le spectre est encore discret

Articles liés[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Ouvrages de références[modifier | modifier le code]

  • (en) E. Elizalde, Ten Physical Applications of Spectral Zeta Functions, Lecture Notes in Physics. New Series M35 (Springer-Verlag, 1995), chapitre 1.
  • (en) E. Elizalde, S.D. Odintsov, A. Romeo et S. Zerbini, Zeta Regularization Techniques With Applications, (World Scientific, 1994).

Articles[modifier | modifier le code]

  • (en) J. S. Dowker et R. Critchley, Effective Lagrangian and energy-momentum tensor in de Sitter spacee, Physical Review D 13 (1976), 3224-3232.
  • (en) Stephen Hawking, Zeta function regularization of path integrals in curved spacetime, Communications in Mathematical Physics 55 (2) (1977), 133-148. Euclide Project.
  • (en) André Voros, Spectral functions, special functions and the Selberg zeta function, Communications in Mathematical Physics 110 (3) (1987), 439–465. Euclide Project.
  • Pierre Cartier et André Voros, Nouvelle interprétation de la formule des traces de Selberg, Journées équations aux dérivées partielles (1988), Art. No. 13. Numdam
  • (en) E. Elizalde, Zeta-function regularization is well-defined and well, Journal of Physics A 27 (1994), L299-304.