Réciprocité cubique

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques, la loi de réciprocité cubique fait référence à divers résultats reliant la résolubilité de deux équations cubiques reliées en arithmétique modulaire.

Notations[modifier | modifier le code]

La loi de réciprocité cubique est plus naturellement exprimée en termes d'entiers d'Eisenstein, c’est-à-dire, l'anneau E des nombres complexes de la forme

z=a+b\omega

a et b sont des entiers et

\omega=\frac{-1+{\rm i}\sqrt3}2={\rm e}^{2\pi{\rm i}/3}

est une racine cubique de l'unité complexe.

Si π est un élément premier de E de norme P ≡ 1 (mod 3) et α un élément premier avec π, on définit le symbole résidu cubique \left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_3\, comme étant la racine cubique de l'unité (puissance de ω) satisfaisant

\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_3\equiv\alpha^{(P-1)/3}\pmod\pi.

De plus, on dit qu'un entier d'Eisenstein est primaire s'il est congru à ±1 modulo 3.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Pour des nombres premiers primaires non associés π et θ, la loi de réciprocité cubique est :

 \left(\frac{\pi}{\theta}\right)_3 = \left(\frac{\theta}{\pi}\right)_3

avec des lois supplémentaires pour les unités et pour l'élément premier 1 – ω de norme 3 qui, pour π = 1 + 3(m + nω), sont :

 \left(\frac{\omega}{\pi}\right)_3 = \omega^{-m-n},\quad\left(\frac{1-\omega}{\pi}\right)_3 = \omega^m\quad{\rm et}\quad\left(\frac3{\pi}\right)_3 = \omega^n.


Références[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]