Réarrangement symétrique décroissant

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En analyse à plusieurs variables, le réarrangement symétrique décroissant[1],[2] d'une fonction f de ℝn dans ℝ est une fonction symétrique décroissante dont les ensembles de sur-niveau sont de même taille que ceux de f.

Définition pour les ensembles[modifier | modifier le code]

Le réarrangement A* d'une partie mesurable A de ℝn est la boule ouverte de ℝn de centre 0 et de volume égal à celui de A. Formellement :

A^*=\{x\in\R^n~|~\omega_n |x|^n < |A| \},

ωn est le volume de la boule unité et |A| est le volume de A.

Définition pour les fonctions[modifier | modifier le code]

Soit f une fonction mesurable positive et, pour tout réel t, \scriptstyle\mathbb I_{[f>t]} la fonction indicatrice de son ensemble de sur-niveau t, c'est-à-dire de l'ensemble

[f>t]:=\{y~|~f(y)>t\}.

Le réarrangement f* de f est défini par

 f^*(x) = \int_0^\infty\mathbb{I}_{[f>t]^*}(x)~\mathrm dt.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Pour toute partie mesurable A,(\mathbb I_A)^*=\mathbb I_{A^*}.En effet, pour toute fonction positive g,g(x)=\int_0^\infty\mathbb{I}_{[g>t]}(x)~\mathrm dt.
  • f* est symétrique (c'est-à-dire que f*(x) est fonction uniquement de la norme euclidienne de x) et décroissante (en tant que fonction de cette norme).
  • Les ensembles de sur-niveau de f* sont les réarrangements de ceux de de f et ont par conséquent même mesure, c'est-à-dire que pour tout réel t,[f^*>t]=[f>t]^*\text{ donc }|~[f^*>t]~|=|~[f>t]~|.
  • Le réarrangement préserve l'ordre :f\le g\Rightarrow f^*\le g^*.
  • Si f appartient à l'espace Lp, alors f* aussi et\|f^*\|_p=\|f\|_p.
  • Le réarrangement fait décroître la distance dans Lp : si f et g appartiennent à Lp, alors\|f^*-g^*\|_p\le\|f-g\|_p.
  • Inégalité de Hardy-Littlewood :\int fg\le\int f^*g^*.
  • Inégalité de Pólya-Szegő (it) : si 1 ≤ p < ∞ et si f appartient à l'espace de Sobolev W 1,p, alors\|\nabla(f^*)\|_p\le\|\nabla f\|_p.

Applications[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Symmetric decreasing rearrangement » (voir la liste des auteurs)

  1. (en) Elliott H. Lieb et Michael Loss, Analysis, AMS,‎ 2001, 2e éd. (ISBN 978-0-8218-2783-3, lire en ligne), p. 80
  2. (en) Almut Burchard, A Short Course on Rearrangement Inequalities,‎ juin 2009 (lire en ligne)