Règle de résolution

La règle de résolution ou principe de résolution de Robinson est une règle d'inférence logique que l'on peut voir comme une généralisation du modus ponens. Cette règle est principalement utilisée dans les systèmes de preuve automatiques, elle est à la base du langage de programmation logique Prolog.

Définition

La règle de résolution s'applique sur deux clauses, c'est-à-dire des formules composées de disjonctions de littéraux, un littéral étant un atome (positif) ou un atome précédé d'une négation (négatif).

Étant donné deux clauses

$C_1 = L_1 \lor \ldots \lor L_i \lor \ldots \lor L_m$

$C_2 = M_1 \lor \ldots \lor M_j \lor \ldots \lor M_n$

où les littéraux $L_i$ et $M_j$ sont l'un positif et l'autre négatif et qu'ils portent sur le même atome.

Le résolvant de $C_1$ et $C_2$ sur $L_i$ et $M_j$ est la clause

$C_R = \bigg( L_1 \lor \ldots \lor L_{i-1} \lor L_{i+1}\lor \ldots \lor L_m \ \bigg) \lor \ \bigg( M_1 \lor \ldots \lor M_{j-1}\lor M_{j+1} \lor \ldots \lor M_n \bigg)$

Exemples

Soit

$C_1 = a \lor \lnot b \lor \lnot c$

$C_2 = b \lor e \lor \lnot f$

La résolution sur $b$ produit

$C_R = a \lor \lnot c \lor e \lor \lnot f$

La règle du modus ponens est un cas particulier de résolution avec

$\begin{array}{ll} C_1 = \lnot p \lor q & \mathrm{la\ formule\ } p \to q \mathrm{\ sous\ forme\ de\ clause} \\ C_2 = p \\ C_R = q & \mathrm{r\acute{e}solvant\ sur\ } p \end{array}$

Utilisation en logique des prédicats

En logique des prédicats les formules atomiques sont de la forme $P(t_1, \ldots, t_n)$ où $P$ est un symbole de prédicat et les $t_i$ sont des termes composés de constantes, de variables et de symboles de fonctions. On peut effectuer la résolution sur deux littéraux s'ils portent sur des formules atomiques identique ou sur des formules unifiables. Deux formules atomiques sont unifiables s'il existe une substitution des variables par des termes qui rend les deux formules identiques.

Par exemple, les formules atomiques

$P(x, a, y)$ et $P(c, a, z)$, où a et c sont des constantes,

sont unifiables par la substitution $x \to c, y \to z$. Par contre

$P(x, a, y)$ et $P(c, b, z)$

ne sont pas unifiables car les constantes ne peuvent être remplacées.

Exemple

$C_1 = \lnot P(x) \lor \lnot Q(y) \lor R(x, y)$

$C_2 = Q(a)$

$C_3 = P(b)$

La substitution $y \to a$ permet d'appliquer la résolution sur Q, entre $C_1$ et $C_2$, ce qui produit

$C_R = \lnot P(x) \lor R(x, a)$

La substitution $x \to b$ permet d'appliquer la résolution sur P, entre $C_3$ et $C_R$ pour produire

$C_S = R(b, a)$

Résolution et preuves par réfutation

En général on utilise le principe de résolution pour effectuer des preuves par réfutation. Pour prouver que la formule $f$ est une conséquence logique des formules $f_1, \ldots, f_n$ on démontre que l'ensemble $\{f_1, \ldots, f_n, \lnot f\}$ est inconsistant.

Pratiquement, il faut commencer par mettre toutes les formules sous forme clausale, pour cela on doit les mettre sous forme prénexe (tous les quantificateurs au début) puis les skolémiser.

Pour montrer qu'un ensemble de clauses est inconsistant, il faut réussir à engendrer la clause vide en appliquant la règle de résolution autant de fois que nécessaire.

Exemple

On veut montrer que les trois formules

1. $\forall x \ ((S(x) \lor T(x)) \to P(x))$,
2. $\forall x \ (S(x) \lor R(x))$,
3. $\lnot R(a)$

ont pour conséquence la formule $P(a)$.

La première formule est équivalente à $(\forall x \ (S(x) \to P(x)) \land (\forall x \ (T(x) \to P(x))$ et produit donc les deux clauses

$C_1 = \lnot S(x) \lor P(x)$

$C_2 = \lnot T(x) \lor P(x)$

La seconde formule donne immédiatement la clause

$C_3 = S(x) \lor R(x)$

et la troisième

$C_4 = \lnot R(a)$.

La négation de la conséquence cherchée donne

$C_5 = \lnot P(a)$

Par résolution sur $R$ de $C_3$ et $C_4$ avec $x \to a$ on produit

$C_6 = S(a)$

Par résolution sur $S$ de $C_1$ et $C_6$ on produit

$C_7 = P(a)$

Enfin $C_5$ et $C_7$ donnent la clause vide.

Stratégie d'application de la règle

Le principe de résolution étant complet, si l'ensemble de clause considéré est inconsistant on arrive toujours à générer la clause vide. Par contre, le problème de la consistance (satisfaisabilité) n'étant pas décidable en logique des prédicats, il n'existe pas de méthode pour nous dire quelles résolutions effectuer et dans quel ordre pour arriver à la clause vide.

On peut facilement trouver des exemples où l'on « s'enfonce » dans la génération d'une infinité des clauses sans jamais atteindre la clause vide, alors qu'on l'aurait obtenue en faisant les bons choix.

Différentes stratégies ont été développées pour guider le processus. Le système Prolog se base, par exemple, sur l'ordre d'écriture des clauses et l'ordre des littéraux dans les clauses. D'autres systèmes, comme CyC utilisent une stratégie de coupure (en fonction des ressources consommées) pour éviter de générer des branches infinies.

Références

• (en) Robinson J. A. "A Machine-Oriented Logic Based on the Resolution Principle." J. Assoc. Comput. Mach. 12, 23-41, 1965.
• (en) Kowalski, R. Logic for Problem Solving. North Holland, Elsevier, 1979.
• (fr) Benzaken, C. Systèmes formels : introduction à la logique et à la théorie des langages. Masson, Paris, 1991.
• (en) Bundy, A. The Computer Modelling of Mathematical Reasoning. Academic Press, London, 1983.
• (en) Huth, M., Ryan, M. Logic in Computer Science, Cambridge University Press, 2004.