Règle de d'Alembert

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La règle de d'Alembert, qui doit son nom au mathématicien français Jean le Rond d'Alembert, est un outil d'étude de convergence pour une série à termes positifs. Elle permet dans certains cas d'établir la convergence absolue d'une série à termes complexes ou vectoriels ou au contraire sa divergence.

Énoncé simplifié[modifier | modifier le code]

Soit (x_n)\, une suite de réels non nuls. On suppose que la limite suivante existe :

l=\lim_{n \to +\infty}\frac{|x_{n+1}|}{|x_n|}
  • si l est strictement inférieur à 1 alors la suite (x_n) \, converge vers zéro et même la série de terme général (x_n) \, converge absolument.
  • si l est strictement supérieur à 1, alors la suite ne tend pas vers 0, donc la série diverge grossièrement.
  • si l vaut 1, c'est le cas où il est impossible de conclure (dit aussi douteux) de la règle de d'Alembert, on ne peut pas conclure sur la convergence de la série.
On peut alors essayer une règle plus précise, la règle de Raabe-Duhamel.

La règle de d'Alembert peut être employée pour prouver la convergence absolue d'une série à termes dans un espace vectoriel normé E. Il s'agit en effet d'étudier la série des normes, réels positifs. Notamment, si E est complet (par exemple si E= \C ), la série est convergente.

Démonstration dans le cas réel[modifier | modifier le code]

Soit (a_n) une suite réelle à termes strictement positifs telle que \lim_{n \to +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=l \ge 0.

Si l<1, il existe k tel que l<k<1, et N entier naturel tel que pour n>N : a_n<k\ a_{n-1}<k^{n-N} a_N, donc la série \sum a_{n+N} converge, d'où le résultat pour \sum a_n.


Si l>1, il existe k tel que 1<k<l, et N entier naturel tel que pour n>N : a_n>k\ a_{n-1}>k^{n-N} a_N, donc la suite ne tend pas vers 0.

N.B. : Une autre démonstration existe dans le cas où \scriptstyle l\neq 0 en passant au logarithme et en utilisant le lemme de Cesàro.