Règle de L'Hôpital

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En mathématiques, et plus précisément en analyse, la règle de L'Hôpital (également appelée règle de l'Hospital ou règle de Bernoulli) utilise la dérivée dans le but de déterminer les limites difficiles à calculer de la plupart des quotients. Le théorème de Stolz-Cesàro est un résultat analogue concernant des limites de suites, mais utilisant les différences finies au lieu de la dérivée.

Historique[modifier | modifier le code]

La règle porte le nom d'un mathématicien français du XVIIe siècle, Guillaume François Antoine, marquis de L'Hôpital, qui a publié l'Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1696), premier livre de calcul différentiel à avoir été écrit en français. La règle de L'Hôpital apparaît dans cet ouvrage et constitue la prop.1 de la section IX, §163, p.145[1] : l'objet de cette proposition consiste à donner la valeur d'une quantité y dépendant d'une variable x pour la valeur a de cette variable, lorsque y s'écrit comme une fraction dont le numérateur et le dénominateur s'annulent tous deux en a.

L'auteur du livre est sans doute Jean Bernoulli, car L'Hôpital payait à Bernoulli une pension de 300 francs par an pour le tenir informé des progrès du calcul infinitésimal, et pour résoudre les problèmes qu'il lui posait (comme celui de trouver la limite des formes indéterminées) ; de plus, ils avaient signé un contrat autorisant L'Hôpital à utiliser les découvertes de Bernoulli à sa guise[2]. Quand L'Hôpital publia son livre, il reconnut ce qu'il devait à Bernoulli, et, ne voulant pas se voir attribuer son travail, publia anonymement. Bernoulli prétendit alors être l'auteur de l'ouvrage entier, ce qui fut longtemps cru, mais la règle n'en fut pas moins nommée d'après L'Hôpital, bien qu'il n'ait jamais prétendu l'avoir inventée[3].

Énoncé des règles de L'Hôpital[modifier | modifier le code]

Principe[modifier | modifier le code]

Soit a réel ou égal à ±∞, tel que les fonctions réelles f et g soient définies et dérivables « au voisinage » de a, la dérivée de g ne s'y annulant pas. Si nous essayons de déterminer la limite en a du quotient f/g, où le numérateur et le dénominateur tendent soit les deux vers zéro, soit les deux vers l'infini, alors nous pouvons dériver le numérateur et le dénominateur et déterminer la limite du quotient des dérivées. Si elle existe, la règle affirme que cette limite sera égale à la limite cherchée.

La règle, pour f et g définies (au moins) sur un intervalle d'extrémités a et b, est exposée ici pour des limites à droite en a avec –∞a < b. Elle est bien sûr transposable à gauche avec b < a+∞ et la règle bilatérale, pour des limites épointées en un réel a, se déduit de la conjonction de ces deux règles latérales.

Énoncé simple[modifier | modifier le code]

Dans l'ouvrage de M. de l'Hôpital, la règle qui apparaît est celle communément utilisée dans le cas de deux fonctions dérivables en a et telles que le quotient \frac{f'(a)}{g'(a)} soit défini :

Si f et g sont deux fonctions définies sur [a, b], dérivables en a, s'annulant en a et telles que le quotient \frac{f'(a)}{g'(a)} soit défini, alors \lim_{x \rightarrow  a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac {f'(a)}{g'(a)}.

Généralisations[modifier | modifier le code]

Cependant, la règle de l'Hôpital se généralise à des situations où f et g sont supposées définies et dérivables à droite de a, mais pas en a (a pouvant être réel ou infini) :


Première généralisation à des fonctions f et g pour lesquelles la limite en a est nulle.

Si f et g sont deux fonctions dérivables sur ]a, b[ dont la limite en a est nulle, si g' ne s'annule pas sur ]a, b[ et si \lim_{x \rightarrow  a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}  = \ell, alors \lim_{x \rightarrow  a^+} \frac{f(x)}{g(x)}= \ell.

Le résultat est valide que soit une limite réelle ou infinie[4].

Seconde généralisation à des fonctions f et g pour lesquelles la limite de g en a est infinie.

Si f et g sont deux fonctions dérivables sur ]a, b[ , si g a une limite infinie en a, si g' ne s'annule pas sur ]a, b[ et si \lim_{x \rightarrow  a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}  = \ell, alors \lim_{x \rightarrow  a^+} \frac{f(x)}{g(x)}= \ell.

Le résultat est valide que soit une limite réelle ou infinie.

Démonstrations[modifier | modifier le code]

Démonstration de la règle simple[modifier | modifier le code]

C'est une simple opération sur les limites. Comme f(a) = g(a) = 0, on a :

\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - f(a)}{x-a}\frac{x - a}{g(x) - g(a)}

Comme f et g sont dérivables en a et que le quotient \frac{f'(a)}{g'(a)} est défini, on peut affirmer que :

  1. g' (a) est non nul, donc que, selon la propriété liant limite et relation d'ordre, g(x) est non nul sur un intervalle ]a, c] ;
  2. \lim_{x \to a^+} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}\frac{x - a}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}.

Démonstration de la première généralisation[modifier | modifier le code]

Pour tout réel x de ]a, b[ (que a soit fini ou pas), on applique le théorème des accroissement finis généralisé[5] à f et g entre a et x. On obtient ainsi un réel cx de ]a, x[ tel que

\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(c_x)}{g'(c_x)}.

Puisque

\lim_{x\to a^+}c_x=a,~c_x>a\text{ et }\lim_{c\to a^+}\frac{f'(c)}{g'(c)}=\ell,

on obtient

\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=\ell.

Démonstration de la deuxième généralisation[modifier | modifier le code]

La démonstration de la deuxième généralisation utilise le même théorème des accroissements finis généralisé, avec plus de précaution.

Dans tout intervalle non vide ]x, y[ inclus dans ]a, b[, il existe un réel c tel que  \frac{f(x) - f(y)}{g(x) - g(y)}= \frac{f'(c)}{g'(c)}, autrement dit f(x) = (g(x) - g(y))\frac{f'(c)}{g'(c)} + f(y).

Lorsque g(x) est non nul, l'expression précédente peut s'écrire :

\frac{f(x)}{g(x)} = \left(1 - \frac{g(y)}{g(x)}\right )\frac{f'(c)}{g'(c)} +\frac{f(y)}{g(x)}.

Comme \lim_{t \to a^+} \frac{f'(t)}{g'(t)} = \ell, on peut choisir y dans ]a, b[ tel que, si c appartient à ]a, y[, \frac{f'(c)}{g'(c)} soit aussi proche que l'on veut de .

Puis, pour un tel y, comme g(x) tend vers l'infini, on peut trouver un intervalle non vide ]a, r[ inclus dans ]a, y[ tel que g(x) soit non nul et \frac{g(y)}{g(x)} et  \frac{f(y)}{g(x)} soient aussi proche de 0 que l'on veut, pour tout x de ]a, r[.

Utilisations et précautions à prendre[modifier | modifier le code]

La règle n'est utilisable qu'en cas d'indétermination. Par exemple -4=\lim_{x\to1}\frac{3x^2+1}{2x-3}\ne\lim_{x\to1}\frac{6x}2=3.

Dans le cas d'indétermination de la forme « 0/0 », la première forme peut souvent être utilisée :


  \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x^2+3x}
  = \frac{\cos(0)}{2 \times 0 + 3}
  = \frac13.

Dans le cas d'indétermination de la forme « ∞/∞ », c'est la seconde généralisation que l'on va employer :


  \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt x}{\ln(x)}
  = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac1{2\sqrt x}}{\frac1x}
  = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt x}2
  = +\infty.

Parfois, il faudra utiliser plusieurs fois la règle de l'Hôpital pour parvenir au résultat :

  •  \lim_{x \to 0}\frac{\cos(2x) - 1}{x^3 + 5x^2}
  = \lim_{x \to 0}\frac{-2\sin(2x)}{3x^2 + 10x}
  = \lim_{x \to 0}\frac{-4\cos(2x)}{6x + 10}
  = \frac{-2}5.
  • \forall n\in\N~\lim_{x\to +\infty}\frac{\exp(x)}{x^n}=\lim_{x\to +\infty}\frac{\exp(x)}{nx^{n-1}}=\lim_{x\to +\infty}\frac{\exp(x)}{n(n-1)x^{n-2}}=\ldots=\lim_{x\to +\infty}\frac{\exp(x)}{n!}=+\infty.

Certaines limites, qui n'apparaissent pas comme des limites de quotients, peuvent être obtenues avec cette règle :


  \lim_{x \to +\infty} x - \sqrt{x^2 - x}
  = \lim_{x \to +\infty} \frac{1-\sqrt{1 - 1/x}}{1/x}
  = \lim_{h \to 0}\frac{1-\sqrt{1 - h}}{h}
  = \lim_{h \to 0}\frac{\frac1{2\sqrt{1-h}}}1
  = \frac12.

On remarquera que les formes généralisées ne donnent que des conditions suffisantes d'existence de la limite. Il existe donc des cas où la limite du quotient des dérivées n'existe pas et pourtant la limite du quotient des fonctions existe :

 \lim_{x \to 0}\frac{x^2\sin(1/x)}{x} = \lim_{x \to 0}x\sin(1/x) = 0

alors que

 \frac{2x\sin(1/x) - \cos(1/x)}1 n'admet pas de limite en 0.

Enfin, on prendra soin de vérifier que g' (x) est bien non nul au voisinage de a (et donc que g n'oscille pas trop autour de 0), sinon la règle n'est pas applicable. Par exemple, si

f(x)=x+\cos(x)\sin(x)\text{ et }g(x)=\mathrm e^{\sin(x)}(x+\cos(x)\sin(x))

alors

f'(x)=2\cos^2(x)\text{ et }g'(x)=\mathrm e^{\sin(x)}\cos(x)(x+\sin(x)\cos(x)+2\cos(x))

donc

\lim_{x\to +\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}
=\lim_{x\to +\infty}\frac{2\cos(x)}{\mathrm e^{\sin(x)}(x+\sin(x)\cos(x)+2\cos(x))}=0,

mais

\frac{f(x)}{g(x)}=\frac1{\mathrm e^{\sin(x)}} n'admet pas de limite en +∞ car \frac1{\mathrm e^{\sin(x)}} oscille entre 1/e et e.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. [Analyse des infiniment petits, pour l'intelligence des lignes courbes] sur Gallica.
  2. (en) Eli Maor, e: The Story of a Number, PUP,‎ 1994, p. 116.
  3. (en) Ross L. Finney et George B. Thomas, Jr., Calculus, Addison-Wesley,‎ 1994, 2e éd., p. 390.
  4. E. Ramis, C. Deschamps, J. Odous, Cours de mathématiques spéciales, tome 3, topologie et éléments d'analyse, éd. Masson, 1982, p. 125
  5. En remplaçant son utilisation par celle de l'inégalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs vectorielles, on étend facilement cette généralisation au cas où f est à valeurs vectorielles : (en) J. Albrycht, « L'Hôpital's rule for vector-valued functions », Colloquium Mathematicum, vol. 2, no 3-4,‎ 1951, p. 176-177 (lire en ligne).

Article connexe[modifier | modifier le code]

Règle de L'Hôpital sur la monotonie