Quasi-isomorphisme

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En mathématiques, un quasi-isomorphisme est une application induisant un isomorphisme en homologie. Cette définition s'applique aux morphismes de complexes différentiels et notamment aux complexes de chaines ou de cochaines, mais aussi aux applications continues entre espaces topologiques via les différentes théories d'homologie.

Toute équivalence d'homotopie est un quasi-isomorphisme mais la réciproque est fausse. En particulier, l'existence d'un quasi-isomorphisme entre deux espaces n'implique pas l'existence d'un quasi-isomorphisme réciproque.

La relation d'équivalence engendrée par les quasi-isomorphismes est donc décrite par l'existence d'une chaine (zig-zag) de quasi-isomorphismes reliant deux espaces donnés. Le type d'homotopie rationnelle (en) d'un espace est ainsi la classe d'équivalence induite les quasi-isomorphismes en homologie rationnelle.

Deux complexes différentiels de groupes abéliens libres[1] ou d'espaces vectoriels (ou, plus généralement, de modules libres sur un anneau principal)[réf. souhaitée] qui ont même homologie sont homotopiquement équivalents (donc quasi-isomorphes) mais les deux complexes suivants de groupes abéliens ont même homologie sans qu'il existe de quasi-isomorphisme entre eux (dans un sens ou dans l'autre)[2] :

0\to\Z\xrightarrow2\Z/4\Z\to0,\quad0\to\Z\xrightarrow0\Z/2\Z\to0.

Notation[modifier | modifier le code]

\simeq
Symbole utilisé pour marquer
un quasi-isomorphisme.

Les quasi-isomorphismes sont parfois notés comme les équivalences d'homotopie à l'aide d'un symbole constitué d'un trait horizontal surmonté d'un tilde de même largeur (commande \simeq sous LaTeX).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Réponse de Leonid Positselski dans Does homology detect chain homotopy equivalence? sur MathOverflow
  2. Exemple donné dans (en) R. P. Thomas (de), « Derived categories for the working mathematician », dans Proceedings of the Winter School on Mirror Symmetry, Vector Bundles and Lagrangian Submanifolds, AMS, coll. « AMS/IP Studies in Advanced Mathematics » (no 23) (lire en ligne), p. 349-361, en remplacement de celui donné par erreur dans le preprint (arXiv:math/0001045) et pourtant reproduit dans (en) Andrei Căldăraru, « Derived categories: a skimming », dans Snowbird Lectures in Algebraic Geometry, AMS, coll. « Contemporary Mathematics » (no 388),‎ 2005 (lire en ligne), p. 43-75, arXiv:math/0501094.

Articles connexes[modifier | modifier le code]