Quadrilatère complet

Un quadrilatère complet est une figure de géométrie plane constituée de quatre droites dont deux quelconques ne sont pas parallèles ni trois quelconques concourantes.

Une autre manière de définir un quadrilatère complet est de compléter un quadrilatère convexe ABCD par le point E intersection des droites (AB) et (CD) et le point F intersection des droites (AD) et (BC).

Cette figure est très liée à la géométrie projective et fut étudiée dès le II^e siècle par Menelaos puis Pappus d'Alexandrie.

Propriétés

Une division harmonique sur les diagonales

Chacune des trois diagonales [BD], [EF] et [AC] est divisée harmoniquement par les deux autres.

Chaque diagonale coupe les deux autres en créant des divisions harmoniques. De manière plus explicite la diagonale (BD) est coupée par les diagonales (AC) et (EF) en I et J tels que

${\frac {\overline {IB}}{\overline {ID}}}\mathrel {:} {\frac {\overline {JB}}{\overline {JD}}}=-1$

De même si K est l'intersection des diagonales (AC) et (EF) :

${\frac {\overline {JE}}{\overline {JF}}}\mathrel {:} {\frac {\overline {KE}}{\overline {KF}}}=-1$      ${\frac {\overline {KA}}{\overline {KC}}}\mathrel {:} {\frac {\overline {IA}}{\overline {IC}}}=-1$

C'est un avatar projectif de la propriété des diagonales du parallélogramme (cas où l'une des diagonales du quadrilatère complet est la droite à l'infini dans le plan projectif vu comme plan affine complété), à savoir qu'elles se coupent en leur milieu (cas limite de division harmonique, voir l'article).

On en donne une première démonstration géométrique, qui utilise les propriétés des faisceaux harmoniques : la propriété caractéristique qui est que toute sécante à un faisceau harmonique est découpée suivant une division harmonique, et l'existence et l'unicité d'une quatrième harmonique.

Démonstration Géométrique

Étant donné trois droites issues d'un point, il n'existe qu'une seule droite formant avec celles-là un faisceau harmonique.

Notons $[O|A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}]$ le faisceau des droites $(OA_{1}),(OA_{2}),(OA_{3}),(OA_{4})$ (Les points $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}$ n'étant pas forcément alignés).

Soit $I$ le point d'intersection des diagonales $(AC)$ et $(BD)$. Soit $M$ l'unique point sur la droite $(EI)$ tel que le faisceau $[E|F,C,M,D]$ soit harmonique. Posons $H=(FM)\cap (BC)$ et $H'=(FM)\cap (AD)$.

On a $[F|E,B,M,D]=[F|E,B,H,C]$, de sorte que le faisceau $[I|E,B,H,C]$ est harmonique (rappelons que le fait d'être harmonique ne dépend que de la position des points d'intersection avec une sécante ; ici la sécante est la droite $(EC)$).

Pour une raison analogue, il en est de même de $[I|E,A,H',D]$.

Mais comme $(IA)=(IC)$ et que $(IB)=(ID)$, on a $[I|E,A,H',D]=[I|E,B,H',C]$ de sorte que les deux faisceaux $[I|E,B,H,C]$ et $[I|E,B,H',C]$ sont tous deux harmoniques et possèdent trois droites communes. En vertu de la propriété d'unicité, ces deux faisceaux sont identiques et par conséquent $(IH)=(IH')$.

Ainsi $I=(HH')\cap (EI)=M$ par définition de $M$.

Le faisceau $[F|J,B,I,D]$ est donc harmonique ce qui signifie que $[I,J]$ divise harmoniquement $[B,D]$

 

Démonstration Analytique

Soit $Y=\lambda X$, $Y=\mu X$ deux droites issues de $O$. $A=(a,0)$ un point de l'axe des $x$; $Y=\alpha (X-a)$ et $Y=\beta (X-a)$ deux droites issues de $A$. On note $M_{i}(x_{i},y_{i})$ les quatre points d'intersection.

On calcule facilement $x_{1}={\frac {a\alpha }{\alpha -\lambda }}$ d'où l'on tire par permutation :$\quad x_{2}={\frac {a\beta }{\beta -\lambda }},\quad x_{3}={\frac {a\beta }{\beta -\mu }},\quad x_{4}={\frac {a\alpha }{\alpha -\mu }}.$

La droite $(M_{1}M_{3})$ a pour équation : $\quad {\begin{vmatrix}X&x_{1}&x_{3}\\Y&\lambda x_{1}&\mu x_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}X&a\alpha &a\beta \\Y&a\lambda \alpha &a\mu \beta \\1&\alpha -\lambda &\beta -\mu \end{vmatrix}}=0.$

On en tire l'abscisse $\omega$ du point d'intersection avec l'axe $Ox$ : $\quad \omega ={\frac {a^{2}\alpha \beta (\lambda -\mu )}{\begin{vmatrix}a\lambda \alpha &a\mu \beta \\\alpha -\lambda &\beta -\mu \end{vmatrix}}}.$

Par permutation on déduit celle $\omega '$ de $(M_{2}M_{4})\cap (Ox)$ : $\quad \omega '={\frac {a^{2}\alpha \beta (\lambda -\mu )}{\begin{vmatrix}a\lambda \beta &a\mu \alpha \\\beta -\lambda &\alpha -\mu \end{vmatrix}}}.$

Il en résulte

${\frac {1}{\omega }}+{\frac {1}{\omega '}}={\frac {1}{a^{2}\alpha \beta (\lambda -\mu )}}\left({\begin{vmatrix}a\lambda \alpha &a\mu \beta \\\alpha -\lambda &\beta -\mu \end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a\lambda \beta &a\mu \alpha \\\beta -\lambda &\alpha -\mu \end{vmatrix}}\right)={\frac {2}{a}}$

après développement des déterminants.

Remarque : on aurait pu prendre $a=1$ mais la moyenne harmonique aurait

été moins visible.

 

Cette propriété peut aussi se déduire du théorème de Ménélaüs et du théorème de Ceva, ou permettre de déduire l'un de ces théorèmes à partir de l'autre, voir ce dernier article.

La droite de Newton

Les milieux des trois diagonales sont alignés sur une droite appelée droite de Newton.

Théorème de Miquel

les cercles circonscrits aux triangles (EAD), (EBC), (FAB) et (FDC) sont concourants.

Utilisation remarquable

Le dual du quadrilatère complet est le quadrangle complet.

Le quadrangle complet inscrit dans une conique est très utile pour démontrer certaines propriétés des tangentes et des polaires dans une conique.

Voir aussi

Liens externes

• « Quadrilatère complet », sur serge.mehl.free.fr
• « Quadrilatère complet », sur debart.pagesperso-orange.fr

Bibliographie

• Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009 (ISBN 978-2-91-635208-4)
• Petite encyclopédie de mathématique, éd. Didier
• Jean Fresnel, Méthodes modernes en géométrie
• Bruno Ingrao, Coniques affines, euclidiennes et projectives, Calvage & Mounet (ISBN 978-2-916352-12-1)