Quadrilatère complet

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Quadrilatere complet.png

Un quadrilatère complet est une figure de géométrie plane constituée de quatre droites dont deux quelconques ne sont pas parallèles ni trois quelconques concourantes.

Une autre manière de définir un quadrilatère complet est de compléter un quadrilatère convexe ABCD par le point E intersection des droites (AB) et (CD) et le point F intersection des droites (AD) et (BC).

Cette figure est très liée à la géométrie projective et fut étudiée dès le IIe siècle par Menelaos puis Pappus d'Alexandrie.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Une division harmonique sur les diagonales[modifier | modifier le code]

Chacune des trois diagonales [BD], [EF] et [AC] est divisée harmoniquement par les deux autres.

Chaque diagonale coupe les deux autres en créant des divisions harmoniques. De manière plus explicite la diagonale (BD) est coupée par les diagonales (AC) et (EF) en I et J tels que

{\frac{\overline{IB}}{\overline{ID}}}\mathrel{:}{\frac{\overline{JB}}{\overline{JD}}}=-1

De même si K est l'intersection des diagonales (AC) et (EF) :

{\frac{\overline{JE}}{\overline{JF}}}\mathrel{:}{\frac{\overline{KE}}{\overline{KF}}}=-1      {\frac{\overline{KA}}{\overline{KC}}}\mathrel{:}{\frac{\overline{IA}}{\overline{IC}}}=-1


C'est un avatar projectif de la propriété des diagonales du parallélogramme (cas où l'une des diagonales du quadrilatère complet est la droite à l'infini dans le plan projectif vu comme plan affine complété), à savoir qu'elles se coupent en leur milieu (cas limite de division harmonique, voir l'article).

On en donne une première démonstration géométrique, qui utilise les propriétés des faisceaux harmoniques : la propriété caractéristique qui est que toute sécante à un faisceau harmonique est découpée suivant une division harmonique, et l'existence et l'unicité d'une quatrième harmonique.


Cette propriété peut aussi se déduire du théorème de Ménélaüs et du théorème de Ceva, ou permettre de déduire l'un de ces théorèmes à partir de l'autre, voir ce dernier article.

La droite de Newton[modifier | modifier le code]

QuadrcompletNewton.png

Les milieux des trois diagonales sont alignés sur une droite appelée droite de Newton.





Théorème de Miquel[modifier | modifier le code]

QuadrcompletMiquel.png

les cercles circonscrits aux triangles (EAD), (EBC), (FAB) et (FDC) sont concourants.

Article détaillé : Théorème de Miquel.



Utilisation remarquable[modifier | modifier le code]

Le dual du quadrilatère complet est le quadrangle complet.

Le quadrangle complet inscrit dans une conique est très utile pour démontrer certaines propriétés des tangentes et des polaires dans une conique.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009 (ISBN 978-2-91-635208-4)
  • Petite encyclopédie de mathématique, éd. Didier
  • Jean Fresnel, Méthodes modernes en géométrie
  • Bruno Ingrao, Coniques affines, euclidiennes et projectives, Calvage & Mounet (ISBN 978-2-916352-12-1)