Pôle et polaire

En géométrie, la relation pôle/polaire est une relation qui, un cercle étant donné, associe entre eux les points et les droites du plan.

Dans cette association, on dit de la droite qu'elle est la polaire du point, et du point qu'il est le pôle de la droite (sous-entendu : par rapport au cercle donné).

Définition harmonique

Soient (C) un cercle, et P un point du plan.
Considérons un point M mobile sur (C).
Soit N le deuxième point d'intersection de (MP) et (C).
Soit enfin A le point tel que P,A,M,N forment une division harmonique, c'est-à-dire tel que le birapport (PA,MN) vaut -1. On montre que, lorsque M varie, le lieu de A est un segment de droite.

On appelle polaire de P par rapport à (C) la droite (d) qui porte ce segment. Réciproquement, on dit que P est le pôle de (d) par rapport à (C).

Si P est extérieur à (C), on peut mener par ce point deux tangentes au cercle. Appelons K et L les points de contact au cercle de ces tangentes. Alors, la polaire (d) du point P est la droite (KL) (voir Figure 1).

Propriétés

La polaire d'un point P par rapport à un cercle de centre O est une droite perpendiculaire à OP.
Soient $A,B,C,D$ $A,B,C,D$ quatre points d'un cercle (C). Soit par ailleurs:
- $P=(AB)\cap (CD)$ ,
- $E=(DB)\cap (CA)$ ,
- $F=(AD)\cap (CB)$ .

Alors, d'après les propriétés du quadrilatère complet la polaire de $P$ par rapport à (C) est la droite $(FE)$ (voir Figure 2).

Cette propriété permet de construire la polaire d'un point à la règle uniquement, et aussi de la tracer pour un point intérieur au cercle.

On pourra également, en s'aidant de cette propriété construire, à la règle seulement, les tangentes à un cercle passant par un point extérieur au cercle.

Généralisation aux coniques

Du fait que les transformations homographiques du plan (c'est-à-dire les perspectives de perspectives coniques) conservent le birapport, on peut généraliser les propriétés précédentes.

La transformée d'un point par homographie est un point. Celle d'une droite est une droite. Celle d'un cercle est une conique dont la nature dépend de l'homographie. Les homographies conservent les alignements de points et les intersections.

On pourra donc appeler polaire d'un pôle par rapport à une conique, l'ensemble des points qui définit des divisions harmoniques avec les intersections avec la conique des droites passant par le pôle.

Soit $C$ la matrice 3×3 associée à la forme bilinéaire symétrique de la conique. Grâce à la géométrie projective, on note $M$ un point du plan de coordonnées $(X,Y,1)$ : $M$ appartient à la conique si et seulement si $M^{t}CM=0$ . Pour tout point $M$ du plan, $CM$ est un vecteur à 3 dimensions, qui grâce à la dualité projective peut être interprété comme une droite. Cette droite est la polaire de $M$ (vu ici comme un pôle). Réciproquement si $C$ est inversible (conique non dégénérée), à toute droite (polaire) du plan représentée par un vecteur $D=(a,b,c)^{t}$ , on associe le pôle $M=C^{-1}D$ .

La notion d’extérieur/intérieur, évidente pour l'ellipse, se généralise aux autres coniques (parabole, hyperbole) en définissant l'intérieur par la zone convexe et l’extérieur par son complémentaire.

Si le pôle est à l’extérieur alors sa polaire coupe la conique en 2 points.
Si le pôle est à l’intérieur alors sa polaire est à l’extérieur (et ne coupe pas la conique).
Si le pôle est sur la conique alors sa polaire est la tangente à la conique en ce point.

Points conjugués

Soit $(x,y)$ 2 points du plan. Si $y^{T}Cx=0$ on dit que les points sont conjugués par rapport à $C$ . On a alors: $y$ appartient à la polaire de $x$ , et $x$ appartient à la polaire de $y$ .

Bibliographie

Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009, ISBN 978-2-91-635208-4
Méthodes modernes en géométrie de Jean Fresnel
Bruno Ingrao, Coniques affines, euclidiennes et projectives, C&M, ISBN 978-2-916352-12-1

Articles connexes

François-Joseph Servois (le premier à employer le mot « pôle » en géométrie projective)

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