Puissance d'un point par rapport à un cercle

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En géométrie euclidienne du plan, la puissance d'un point M par rapport à un cercle de centre O et de rayon R est un nombre qui indique la position de M par rapport à ce cercle. Elle peut être définie comme P(M)=OM^2-R^2\,.

Propriété fondamentale et définition[modifier | modifier le code]

Théorème et définition — Soient M un point, Γ un cercle de centre O et de rayon R et (d) une droite orientée passant par M et rencontrant le cercle en A et B. Alors le produit \overline{MA} \times \overline{MB} des mesures algébriques de MA et MB est indépendant de la droite orientée choisie et vaut MO² - R².

On l'appelle puissance du point M par rapport au cercle Γ et on le note P_\Gamma(M).

Puissance point ext.svg

On peut remarquer que :

  • si M est à l’extérieur du cercle, \overline{MA} \times \overline{MB} = MA \times MB
  • si M est à l’intérieur du cercle, \overline{MA} \times \overline{MB} = - MA \times MB.

Lorsque le point M est à l'extérieur du cercle, il est possible de mener des tangentes au cercle. En appelant T le point de contact du cercle avec une de ces tangentes, la puissance de M est P_\Gamma(M) = MT^2 (théorème de Pythagore).

L'égalité MA × MB = MT2 est suffisante pour affirmer que la droite (MT) est tangente au cercle.

La puissance d'un point permet de vérifier que quatre points sont cocycliques : en effet, si A, B, C, D sont quatre points tels que (AB) et (CD) se coupent en M et si \overline{MA} \times \overline{MB} = \overline{MC} \times \overline{MD}, alors les quatre points sont cocycliques.

Axe radical de deux cercles[modifier | modifier le code]

L'axe radical de deux cercles, de centres distincts, est l'ensemble des points ayant même puissance par rapport à ces deux cercles.

Axe radical.svg

On considère deux cercles c(O, R) et c'(O', R') avec O et O' distincts. L'ensemble des points M de mêmes puissances par rapport aux deux cercles vérifie :

pc(M) = MO2 - R2 = pc'(M) = MO'2 - R'2, soit MO2 - MO'2 = R2 - R'2.

Soit I le milieu de [OO'] et K la projection de M sur (OO'). D'après le troisième théorème de la médiane dans le triangle MOO', on a : 2\overrightarrow{OO'}.\overrightarrow{IK} = R^2 - R'^2.
Tous ces points M ont le même projeté orthogonal sur la droite (OO’), et la formule obtenue ci-dessus permet de construire ce projeté K.
L'axe radical est donc la droite perpendiculaire à ligne des centres passant par K.

Si les cercles sont sécants, l'axe radical est la droite joignant les points d'intersection.

L'axe radical (éventuellement en dehors du segment intérieur aux deux cercles) est aussi l'ensemble des points desquels on peut mener, aux deux cercles, des segments tangents de même longueur (MS = MS' dans la figure ci-contre).

En particulier si les cercles sont extérieurs et admettent une tangente commune (TT'), le milieu J de [TT'] appartient à l'axe radical. Cette propriété permet de construire l'axe radical.

Centre radical de trois cercles[modifier | modifier le code]

Les axes radicaux de trois cercles de centres non alignés concourent en un point appelé centre radical des trois cercles (voir aussi : cercle orthogonal à trois cercles).

Centre-radical.svg

On en déduit, par exemple, que si trois cercles sont tangents deux à deux, leurs tangentes communes sont concourantes, et leur centre radical est alors le centre du cercle circonscrit au triangle formé par les trois points de tangence.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

« Avec GéoPlan » : la géométrie du cercle

« Avec Cabri » : puissance d'un point par rapport à un cercle