Puissance d'un nombre

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\begin{array}{l} a^0 = 1 \\ a^1 = a \\ a^2 = a\times a \\ a^3 = a\times a \times a\end{array}
Premières puissances d'un nombre a

En algèbre, une puissance d'un nombre est le résultat de la multiplication répétée de ce nombre avec lui-même. Elle est souvent notée en assortissant le nombre d'un entier, typographié en exposant, qui indique le nombre de fois qu'apparaît le nombre comme facteur dans cette multiplication.

a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n\ \mathrm{facteurs}}

Elle se lit « a puissance n » ou « a exposant n ». L'entier n est appelé exposant.

En particulier, le carré et le cube sont des puissances d'exposant 2 et 3 respectivement. Tout nombre est égal à sa propre puissance d'exposant 1, tandis que toute puissance d'exposant nul vaut 1 par convention.

2^3 = 8
Codage d'une puissance.

Pour chaque exposant, la puissance définit donc une opération, dont la notation est prioritaire sur les autres symboles d'opérations algébriques élémentaires. L'opération binaire associée est l'exponentiation, qui se note parfois à l'aide du symbole « ^ », notamment sur les calculatrices. On trouve aussi le symbole ** dans certains langages de programmation (par exemple Python ou Ada)

Lorsqu'un nombre possède un inverse, il est possible de définir ses puissances d'exposant négatif comme les puissances de cet inverse. Sous certaines conditions, il est même possible de définir des puissances d'exposant rationnel comme 1/2, qui correspond à la racine carrée pour les réels positifs. La fonction exponentielle permet ensuite d'étendre cette définition aux exposants réels ou complexes.

Les opérations algébriques sur les puissances d'un nombre ou de plusieurs possèdent des propriétés particulières. Les puissances de dix, comme 10−5, sont d'une utilisation régulière dans les autres sciences, notamment en physique et en chimie.

Puissance à exposant entier positif[modifier | modifier le code]

On considère un nombre a quelconque et un entier naturel n non nul. La puissance énième de a, notée an et lue «  a puissance n », ou « a exposant n » est le résultat de la multiplication de ce nombre a par lui-même n – 1 fois :

a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n\text{ facteurs}\atop n-1\text{ signes }\times} = \prod_{i=1}^na

Le nombre n est appelé l'exposant de la puissance an.

Le nombre n est un entier naturel (donc positif) et an est une puissance à exposant entier positif de a.

Cas particuliers
  • a¹ = a ;
  • On appelle a² la puissance carrée ou le carré de a ;
  • On appelle a³ la puissance cubique ou le cube de a.

On remarque que, quel que soit l'entier naturel n non nul, 0n = 0 et 1n = 1.

Puissance à exposant zéro[modifier | modifier le code]

Pour tout réel a, on pose a⁰ = 1 d'après la convention sur les produits vides. Cette définition sera cohérente avec les opérations algébriques sur les puissances.

La convention 0⁰ = 1 est utilisée dans un cadre abstrait plus large, par exemple pour identifier le polynôme X⁰ avec la fonction constante de valeur 1. De même, dans le cadre de la théorie des ensembles, la notation 0⁰ peut représenter le nombre d'éléments de l'ensemble des applications de l'ensemble vide dans lui-même et donc valoir 1.

Cependant, l'application (x,y)\mapsto x^y = \exp(y \ln(x)), bien définie sur \R^*_+\times \R, n'admet pas de prolongement par continuité en (0, 0), ce qui interdit le choix d'une convention acceptable en toute généralité. Néanmoins des conventions sont possibles, limitées à des domaines bien définis[1].

Puissance à exposant entier négatif[modifier | modifier le code]

On considère maintenant un nombre a non nul et un entier naturel n. Le nombre a–n, lu « a puissance moins n », ou « a exposant moins n » par abus de langage, est l'inverse de la puissance énième de a, c'est-à-dire :

a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}.

On comprend qu'il ait fallu exclure 0 de cette définition car l'inclure serait revenu à vouloir diviser par 0, ce qui est impossible.

Le nombre –n est l'exposant de la puissance a–n.

Le nombre –n étant négatif, car n est un entier naturel, a–n est une puissance de a à exposant négatif. On notera, en particulier, que a–1 = 1/a (l'inverse du nombre a ).

On peut appliquer cette règle pour transformer une puissance positive en inverse d'une puissance négative :

a^n=\dfrac{1}{a^{-n}}

Signe de l'exposant entier et signe du nombre[modifier | modifier le code]

Il n'y a pas de rapport direct entre le signe de l'exposant et le signe du résultat. Celui-ci dépend de la parité de l'exposant.

Un nombre élevé à une puissance paire donne un résultat positif : si n est pair, alors (–a)n = an.

Un nombre élevé à une puissance impaire donne un résultat du même signe : si n est impair, alors (–a)n = –an.

Exemples.
  • (–2)3, puissance cubique de –2, vaut (–2)×(–2)×(–2) = –8 < 0.
  • 3–4, l'inverse de la puissance quatrième de 3, vaut
\dfrac{1}{3^4}=\dfrac{1}{3\times3\times3\times3}=\dfrac{1}{81}>0
Remarque.

Il ne faut pas confondre les écritures (–a)n, où la puissance s'applique à –a (signe moins compris) et –an, où la puissance s'applique à a uniquement. En effet :

  • (-a)^n = (-a)\times(-a)\times(-a)\times \dots \times(-a)
  • -a^n = - a\times a\times a\times \dots \times a

Opérations algébriques sur les puissances entières[modifier | modifier le code]

Il n'y a pas de formule générale sur les additions ou les soustractions de puissances, sauf la factorisation de an – bn et le développement de (a + b)n.

En revanche, pour les multiplications et les divisions de puissances, on sait que pour tous nombres a et b et pour tous entiers naturels m et n non nuls :

  • a^m\times{a}^{n}=a^{m+n} ;
  • \dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n} si a ≠ 0 ;
  • (a\times{b})^{n}=a^{n}\times{b^{n}}
  • (a^m)^n=a^{m\times{n}} ;
  • \left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n} si b ≠ 0.

Ces formules sont encore valables si m ou n sont des entiers strictement négatifs, à condition que a et b soient non nuls.

On remarque que la convention « a⁰ = 1 pour tout nombre réel a ≠ 0 » est cohérente avec ces formules ; en effet, pour tout entier naturel n ≠ 0 et pour tout nombre réel a ≠ 0,

  • a^n\times{a}^{-n}=a^{n+(-n)}=a^{n-n}=a^0
  • a^n\times{a}^{-n}={a^n}\times\dfrac{1}{a^n}=\dfrac{a^n}{a^n}=1.

On remarquera qu'en prenant n = 0, les égalités précédentes restent vraies.

Puissances de dix[modifier | modifier le code]

Les puissances de 10 sont des cas particuliers de puissance. Leur intérêt réside dans le fait que notre écriture est décimale.

Table des puissances de dix
Puissance de dix
négatives ou nulle
Préfixe Puissance de dix
positives ou nulle
Préfixe
100 = 1 - 100 = 1 -
10−1 = 0,1 d (déci-) 101 = 10 da (déca-)
10–2 = 0,01 c (centi-) 102 = 100 h (hecto-)
10–3 = 0,001 m (milli-) 103 = 1 000 k (kilo-)
10–4 = 0,000 1 - 104 = 10 000 -
10–5 = 0,000 01 - 105 = 100 000 -
10–6 = 0,000 001 µ (micro-) 106 = 1 000 000 M (méga-)
etc. etc. etc. etc.

Le nombre 10 élevé à une puissance entière positive n est un chiffre 1 suivi de n zéros.

Le nombre 10 élevé à une puissance entière négative –n est un 1 placé à la n e position dans un nombre décimal, i. e. précédé de n zéros en comptant celui avant la virgule.

On utilise fréquemment les puissances multiples de 3, qui correspondent aux préfixes du système international :

Table des puissances de dix multiples de trois
Puissance de dix
négatives
Préfixe SI Puissance de dix
positives
Préfixe SI
10–3 = 0,001
un millième
m (milli-) 103 = 1 000
mille
k (kilo-)
10–6 = 0,000 001
un millionième
µ (micro-) 106 = 1 000 000
un million
M (méga-)
10–9 = 0,000 000 001
un milliardième
n (nano-) 109 = 1 000 000 000
un milliard
G (giga-)
10–12 = 0,000 000 000 001
un millième de milliardième
p (pico-) 1012 = 1 000 000 000 000
mille milliards
T (téra-)
etc. etc. etc. etc.

Si la virgule signale la position des unités dans l'écriture d'un nombre décimal, multiplier par 10 revient à déplacer la virgule d'un rang vers la droite et diviser par 10 revient à déplacer la virgule d'un rang vers la gauche. Donc multiplier par 10n pour tout entier positif n revient à déplacer la virgule de n rangs vers la droite ; diviser par 10n pour tout entier positif n revient à déplacer la virgule de n rangs vers la gauche. Ainsi,

  • 325,72 × 10 = 3 257,2
  • 325,72/10 = 32,572
  • 325,72 × 105 = 32 572 000
  • 325,72/105 = 0,003 257 2

Il faut savoir que ce sont la base des théories pour faire tous les calculs par la suite.

Les propriétés énoncées sur les puissances de a restent valables pour les puissances de 10.

L'utilisation des puissances de 10 intervient :

  • dans l'écriture explicite en base 10 :
325,72 = 3·102 + 2·101 + 5·100 + 7·10−1 + 2·10–2 ;
  • dans l'écriture scientifique des nombres décimaux :
325,72 est noté 3,257 2 × 102
où le nombre est écrit comme le produit d'un nombre, appelé mantisse, compris entre 1 et 10 (strictement inférieur à 10), avec une puissance entière de 10 appelée exposant ;
  • et dans la notation ingénieur :
325,72 est noté 325,72
32 572 est noté 32,572 × 103
où le nombre est écrit comme produit d'un nombre compris entre 1 et 999 compris, avec une puissance de 10 dont l'exposant est un multiple de 3.

Généralisation aux puissances à exposant réel[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Exponentielle de base a.

On peut aussi élever un nombre a strictement positif à une puissance à exposant réel quelconque.

Pour cela, on peut définir successivement :

  • d'abord des puissances fractionnaires simples : a1/n = na, où n est un entier, qui coïncident avec les racines n-ièmes pour tout a > 0. Voir racine carrée, racine cubique et racine d'un nombre ;
  • puis des puissances fractionnaires composées : ap/q = (a1/q)p = (ap)1/q ;
  • et enfin, par continuité, des puissances à exposant réel quelconque : ax peut ainsi être défini pour tout x réel et tout a > 0.

Pour un nombre a > 0 donné, la fonction x\mapsto a^x ainsi obtenue est appelée fonction exponentielle de base a. Elle peut s'exprimer à l'aide des seules fonctions logarithme népérien et exponentielle :

 a^x = \exp(x \ln(a))

Ces puissances fractionnaires et réelles répondent aux même règles que les puissances entières. Notamment, pour tous a > 0, b et c réels quelconques :

  • a^b \times a^c = a^{b+c}~;
  • (a^b)^c = a^{b \times c}.

On a en particulier :

  • a^{-1/b} = \dfrac{1}{\sqrt[b]{a}} pour tout entier b non nul ;
  • \sqrt[c]{a^b} = a^{b/c} si c est entier non nul ;
  • (a^b)^{1/b} = (a^{1/b})^b = \sqrt[b]{a^b} = \left ( \sqrt[b]{a} \right )^b = a^{b/b} = a si b est entier non nul.

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. Jean Jacquelin, « Zéro puissance zéro », Quadrature, vol. 66,‎ octobre 2007, p. 34-36 (lire en ligne).

Voir aussi[modifier | modifier le code]