Propriété d'approximation

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La construction d’un espace de Banach sans la propriété d’approximation valut à Per Enflo une oie vivante en 1972 : celle-ci avait été promise en 1936 par Stanislaw Mazur (à gauche) pour la résolution du problème.

En analyse, un espace de Banach X a la propriété d’approximation, abrégée en PA, si tout opérateur compact à valeurs dans X (et défini sur un espace de Banach arbitraire) est une limite d’opérateurs bornés de rangs finis. Notons que la réciproque est toujours vraie.

Tout espace de Hilbert a cette propriété. Il existe des espaces de Banach qui ne l’ont pas : Per Enflo a publié le premier contre-exemple en 1973[1], mais beaucoup de travail dans cette direction avait été fait par Alexandre Grothendieck[2]. De nombreux autres contre-exemples ont été ensuite trouvés.

Définitions[modifier | modifier le code]

Soit X un espace de Banach.

Une définition de « X a la PA » équivalente à celle de l'introduction est : pour tout ensemble compact KX et tout ε > 0, il existe un opérateur borné T : XX de rang fini tel que ║Tx – x║ ≤ ε, pour tout xK.

D’autres variantes de cette propriété sont aussi étudiées en analyse fonctionnelle.

Soit 1 ≤ λ < . On dit que X a la propriété de λ-approximation (λ-PA), si pour tout ensemble compact KX et tout ε > 0, il existe un opérateur T : XX de rang fini tel que ║Tx – x║ ≤ ε, pour tout xK, et ║T║ ≤ λ.

On dit que X a la propriété d’approximation bornée (PAB), s’il a la λ-PA pour un λ.

On dit que X a la propriété d’approximation métrique (PAM), s’il est 1-PA.

On dit que X a la propriété d’approximation compacte (PAC), si dans la définition de PA, « opérateur de rang fini » est remplacé par « opérateur compact ».

Propriétés[modifier | modifier le code]

Si le dual X' de X a la PA (resp. la PAB, la PAM), alors X aussi[2].

Pour un espace réflexif, PA implique PAM[2].

Si l'espace Y et le dual X' de X ont la PA, alors l'espace des opérateurs compacts de X dans Y et celui des opérateurs à trace (en) l'ont aussi.

Tout espace possédant une base de Schauder est séparable et PAB (on peut utiliser les projections associées à la base comme les T de la définition, et invoquer le théorème de Banach-Steinhaus).

La réciproque est fausse : il existe même deux espaces réflexifs X et Y tels que Y et XY ont une base de Schauder, mais pas X[3].

Exemples et contre-exemples[modifier | modifier le code]

Tous les espaces Lp (1 ≤ p ≤ ∞) d'un espace mesuré et plus généralement les espaces d'Orlicz, ainsi que leurs ultrapuissances, ont la PAB[4].

L'espace des fonctions continues bornées sur un espace complètement régulier, muni de la norme de la convergence uniforme, a la PAM[5].

Uffe Haagerup (de) a démontré que la C*-algèbre réduite (en) du groupe libre à n générateurs (n ≥ 2), bien que non nucléaire (en), a la PAM[4].

L’espace des opérateurs bornés sur 2 n’a pas la PA[6].

Enflo a construit un sous-espace non PAB (et réflexif, donc non PA) de l'espace c0 des suites de limite nulle[1].

Les espaces p pour p ≠ 2 possèdent, eux aussi, des sous-espaces fermés non PA[4].

Contrairement à ce que cette famille d'exemples inciterait à conjecturer[4], un espace de Banach sans sous-espace fermé non PA n'est pas nécessairement isomorphe à un espace de Hilbert, même en imposant aussi cette hypothèse pour ses quotients[7].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b (en) Per Enflo, « A counterexample to the approximation problem in Banach spaces », Acta Math., vol. 130,‎ 1973, p. 309-317 (lire en ligne).
  2. a, b et c Alexandre Grothendieck, « Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires », Memoirs of the American Mathematical Society, vol. 16,‎ 1955, p. 140.
  3. (en) Stanisław Szarek (de), « A Banach space without a basis which has the bounded approximation property », Acta Math., vol. 159,‎ 1987, p. 81-98 (DOI 10.1007/BF02392555)
  4. a, b, c et d Gilles Pisier, « De nouveaux espaces de Banach sans la propriété d’approximation », Séminaire N. Bourbaki, no 542,‎ 1978-1979, p. 312-327 (lire en ligne).
  5. (en) Jorge Mujica, Complex Analysis in Banach Spaces, Elsevier,‎ 1985 (ISBN 978-0-08087231-5, lire en ligne), p. 200, Example 27.8.
  6. (en) Andrzej Szankowski, « B(H) does not have the approximation property », Acta Math., vol. 147, no 1,‎ 1981, p. 89-108 (DOI 10.1007/BF02392870).
  7. (en) William B. Johnson (de), « Banach spaces all of whose subspaces have the approximation property », Séminaire d’analyse fonctionnelle, Polytechnique, no 16,‎ 1979-1980, p. 1-11 (lire en ligne).

Article connexe[modifier | modifier le code]

Représentabilité finie (espace de Banach)