Projection de Mollweide

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Projection de Mollweide de la Terre.

La projection de Mollweide est une projection cartographique pseudo-cylindrique employée le plus souvent pour les planisphères de la Terre (ou du ciel). Connue aussi sous le nom de projection de Babinet ou projection elliptique, le qualificatif de projection équivalente de Mollweide indique qu'elle privilégie la conservation des surfaces à la conservation des angles (projection conforme) : c'est pourquoi on y recourt principalement pour les cartes de l'ensemble de la sphère reproduites sur une surface réduite.

Cette projection fut publiée pour la première fois en 1805 par le mathématicien et astronome prussien Karl (ou Carl) Brandan Mollweide (1774 – 1825) de Leipzig, en tant qu’alternative à la projection de Mercator. Jacques Babinet en vulgarisa l’emploi en 1857, sous le nom de projection homolographique[1].

Définition[modifier | modifier le code]

Cette projection est définie algébriquement par :

x = \frac{2 \sqrt 2}{\pi} \lambda \cos\left(\theta \right)
y = \sqrt 2 \sin\left(\theta \right)

\theta\, est un angle auxiliaire défini par

2 \theta + \sin(2 \theta) = \pi \sin(\phi)\, (1)

\,\lambda est la longitude comptée depuis le méridien origine, et \,\phi est la latitude.

L’équation (1) peut être résolue itérativement (avec une vitesse de convergence plus faible aux hautes latitudes) par la méthode de Newton-Raphson :

 \delta\theta' = -(\theta' + \sin(\theta') - \pi \sin(\phi))/(1+\cos(\theta'))\,

Pour la première itération on peut prendre \,\phi comme estimation de \,\theta'.

Finalement, on obtient \,\theta grâce à la relation:

\theta = \theta'/2\,

Propriétés[modifier | modifier le code]

La projection de Mollweide avec une indication des déformations par l’indicatrice de Tissot.

La projection de Mollweide est une projection pseudocylindrique où l’équateur est représenté comme une droite horizontale perpendiculaire au méridien origine, et de longueur double. La longueur des autres parallèles diminue à mesure que l'on progresse vers les pôles, tandis que les autres méridiens sont équidistant au niveau de l’équateur. Les méridiens de longitude 90° est et ouest décrivent un cercle parfait, et le contour du planisphère est une ellipse dont les diamètres sont dans le rapport 2:1. La surface comprise entre un parallèle et l'équateur sur cette carte est proportionnelle à la surface comprise entre ces mêmes ligne à la surface du globe, mais au prix d'une distorsion bien visible aux intersections de ces lignes, bien qu'elle soit moins sensible que dans la projection sinusoïdale.

On peut limiter ces distorsions en recourant à une version dite incomplète de cette projection : la projection sinusoïdale incomplète de Mollweide substitue au méridien origine deux demi-méridiens qui interceptent l'équateur à angle droit ; cette technique a pour effet de diviser le planisphère en deux demi-cartes. La projection à parallèles incomplèts de Mollweide met en œuvre des méridiens centraux disjoints, donnant l'impression d'un faisceau d’ellipses raccordées à l’équateur. Plus rarement, on change la projection de pôle, pour décaler les distorsions au niveau des mers et donner aux terres émergées une distorsion moindre.

Postérité[modifier | modifier le code]

La projection de Mollweide, ou les propriétés sur lesquelles elle se fonde, a inspiré à son tour de nouvelles projections cartographiques, dont la projection homosinusoïdale de Goode, la projection de van der Grinten et la projection « eumorphique » de Boggs[2].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Cf. Snyder, pp.112-113.
  2. Map Projections - A Working Manual, USGS Professional Paper 1395, John P. Snyder, 1987, pp.249-252

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Jean Lefort, L'aventure cartographique, Belin, coll. « Pour la Science »,‎ 2004, 320 p. (ISBN 2-84245-069-8)
  • John P. Snyder, Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections,‎ 1993 (ISBN 0-226-76747-7).