Profondeur d'un module

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En algèbre commutative, la profondeur d'un module est une mesure de la taille de son support.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit M un module sur un anneau commutatif A. Un élément aA est dit M-régulier si ax=0 avec xM implique que x=0. Les éléments A-réguliers sont donc exactement les éléments réguliers de A (éléments non diviseur de 0).

Une suite (ordonnée) a_1,...,a_n d'éléments de A est appelée une suite M-régulière si pour tout i plus petit que n, a_i est régulier pour le module M/(a_1M+...+a_{i-1}M).

Lorsque A est un anneau noethérien, M est de type fini et I est un idéal de A tel que IM \ne M, le plus grand entier n tel qu'il existe une suite M-régulière d'éléments appartenant à I est appelé la I-profondeur de M. Si de plus A est local de maximal m, la m-profondeur de M est simplement appelée la profondeur de M.

On dit qu'un anneau noethérien A est un anneau de Cohen (en)-Macaulay (en) si pour tout idéal premier P de A, l'anneau local A_P est de profondeur (en tant que A_P-module) égale à sa dimension de Krull.

Exemples

  1. Tout anneau local régulier est un anneau de Cohen-Macaulay.
  2. Soit A le localisé de \mathbb C[x,y]/(xy, y^2) en l'idéal maximal engendré par x, y. C'est un anneau de dimension 1, mais de profondeur nulle car tout élément de son idéal maximal est diviseur de 0.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Profondeur et platitude[modifier | modifier le code]

Soient A, B des anneaux locaux noethériens. Soient A\to B un homomorphisme plat et M un A-module de type fini. Alors

\mathrm{prof}_B(M\otimes_A B) = \mathrm{prof}_A(M) + \mathrm{prof}_{B\otimes_A k} (M\otimes_A k)[1]

k est le corps résiduel de A.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. A. Grothendieck et J. Dieudonné: Éléments de géométrie algébrique, IV.6.3.1.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) H. Matsumura, Commutative algebra, second edition, The Benjamin/Cummings Publ. Company, 1980. Chapter 6