Produit intérieur

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En géométrie différentielle, le produit intérieur est une opération élémentaire sur les formes différentielles, que l'on construit à partir d'un champ de vecteurs. Plus précisément, si X est un champ de vecteurs sur une variété différentielle M, et si \Omega^p(M) désigne l'ensemble des formes différentielles de degré p sur M alors le produit intérieur par X est l'opérateur

\iota_X\colon \Omega^p(M) \to \Omega^{p-1}(M)

défini par : pour tous champs de vecteurs Y_1,\dots,Y_{p-1} sur M,

\iota_X \omega(Y_1,\dots,Y_{p-1}) = \omega(X, Y_1,\dots,Y_{p-1}).

C'est une antidérivation de l'algèbre extérieure, i.e, si α est une p-forme et β une forme de degré quelconque :

\iota_X (\alpha \wedge \beta) = \iota_X \alpha \wedge \beta + (-1)^p \alpha \wedge \iota_X \beta.

Voir aussi[modifier | modifier le code]