Produit d'anneaux

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En algèbre générale, il est possible de combiner plusieurs anneaux pour former un anneau appelé anneau produit.

Définition[modifier | modifier le code]

Cette construction peut se faire de la manière suivante : si (Ai)iI est une famille d'anneaux, le produit cartésien ΠiI Ai peut être muni d'une structure d'anneau en définissant les opérations composante par composante, i.e.

(ai) + (bi) = (ai + bi)
(ai) · (bi) = (ai · bi)
1ΠiI Ai = (1Ai)iI

À la place de Π1≤ik Ai nous pouvons aussi écrire A1 × A2 × … × Ak.

Exemples[modifier | modifier le code]

Un exemple est l'anneau ℤ/n des entiers modulo n. Si n s'écrit comme un produit de puissances de facteurs premiers (voir le théorème fondamental de l'arithmétique) :

n = p1n1 p2n2 ... pknk

où les pi sont des nombres premiers distincts, alors ℤ/nℤ est isomorphe à l'anneau produit

\Z/{p_1}^{n_1}\Z\times\Z/{p_2}^{n_2}\Z\times \cdots\Z/{p_k}^{n_k}\Z.

Cela découle du théorème des restes chinois.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Si A = ΠiI Ai est un produit d'anneaux, alors pour tout i dans I nous avons un morphisme surjectif pi : AAi qui projette un élément du produit sur sa i-ième composante. Le produit A muni des projections pi possède la propriété universelle du produit dans la catégorie des anneaux :

si B est un anneau quelconque et si, pour tout i dans I, fi : BAi est un morphisme d'anneaux, alors il existe un unique morphisme d'anneaux f : BA tel que pour tout i dans I, pif = fi.

Si, pour tout i, Ii est un idéal (à gauche, à droite ou bilatère) de Ai alors ΠiI Ii est un idéal (à gauche, à droite ou bilatère respectivement) de A. Tout idéal de A est de cette forme si et seulement si presque tous les Ai sont nuls (c'est-à-dire : tous sauf un nombre fini). Dans un produit infini d'anneaux non nuls, l'idéal des éléments de support fini n'est pas de cet forme.

Un idéal de la forme ΠiI Ii est premier dans A si et seulement si l'un des Ii est premier dans l'anneau Ai correspondant et pour tout autre indice j, Ij = Aj.

Un élément x de A est inversible si et seulement si toutes ses composantes sont inversibles, i.e. si et seulement si pi(x) est un élément inversible de Ai pour tout i de T. Le groupe des éléments inversibles de A est le produit des groupes des inversibles des Ai.

Un produit de plus d'un anneau non nul a toujours des diviseurs de zéro : si x est un élément du produit dont les composantes sont nulles sauf pi(x), et y est un élément du produit dont toutes les composantes sont nulles sauf pj(y) (avec ij), alors xy = 0 dans l'anneau produit.


(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Product of rings » (voir la liste des auteurs).