Produit d'anneaux

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En algèbre générale, il est possible de combiner plusieurs anneaux pour former un anneau appelé anneau produit.

Définition[modifier | modifier le code]

Cette construction peut se faire de la manière suivante: si I est un ensemble d'indices et Ai est un anneau pour tout indice i de I, alors le produit cartésien Πi dans I Ai peut être muni d'une structure d'anneau en définissant les opérations composante par composante, i.e.

(ai) + (bi) = (ai + bi)
(ai) · (bi) = (ai · bi).

À la place de Π1≤i≤k Ai nous pouvons aussi écrire A1 × A2 × ... × Ak.

Exemples[modifier | modifier le code]

Un exemple est l'anneau Z/nZ des entiers modulo n (voir arithmétique modulaire). Si n s'écrit comme un produit de puissances de facteurs premiers (voir le théorème fondamental de l'arithmétique):

n = p1n1 p2n2 ... pknk

où les pi sont tous distincts, alors \mathbb Z/n\mathbb Z est isomorphe à l'anneau produit

\mathbb Z/{p_1}^{n_1}\mathbb Z\times \mathbb Z/{p_2}^{n_2}\mathbb Z\times \cdots \mathbb Z/{p_k}^{n_k}\mathbb Z

Cela découle du théorème des restes chinois.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Si A = Πi dans I Ai est un produit d'anneaux, alors pour tout i dans I nous avons un morphisme surjectif pi : AAi qui projette un élément du produit sur la ième composante. Le produit A, ainsi que les projections pi, possèdent la propriété universelle suivante:

si B est un anneau quelconque et fi : BAi est un morphisme d'anneaux pour tout i dans I, alors il existe un unique morphisme d'anneaux f : BA tel que pour tout i dans I, pi o f = fi.

Si I est un idéal (à gauche, à droite ou bilatère) de A, alors il existe des idéaux (à gauche, à droite ou bilatère respectivement) Ii de Ai tels que I = Πi dans I Ii. Inversement, un tel produit d'idéaux est un idéal de A. I est un idéal premier de A si et seulement si tous les Ii sauf un sont égaux à Ai et le restant Ii est un idéal premier de Ai.


Un élément x de A est inversible si et seulement si toutes ses composantes sont inversibles, i.e. si et seulement si pi(x) est un élément inversible de Ai pour tout i de T. Le groupe des éléments inversibles de A est le produit des groupes des inversibles de Ai.

Un produit de plus d'un anneau non nul a toujours des diviseurs de zéro : si x est un élément du produit dont les composantes sont nulles sauf pi(x), et y est un élément du produit dont toutes les composantes sont nulles sauf pj(y) (avec ij), alors xy = 0 dans l'anneau produit.