Problème à deux corps

étoile binaire

Le problème à deux corps est un modèle théorique important en mécanique, qu'elle soit classique ou quantique, dans lequel sont étudiés les mouvements de deux corps assimilés à des points matériels en interaction mutuelle (conservative), le système global étant considéré comme isolé. Dans cet article, seul sera abordé le problème à deux corps en mécanique classique (voir par exemple l'article atome d'hydrogène pour un exemple en mécanique quantique), d'abord dans le cas général d'un potentiel V(r) attractif, puis dans le cas particulier très important où les deux corps sont en interaction gravitationnelle, ou mouvement képlerien, lequel est un sujet important de la mécanique céleste.

L'importance de ce problème vient en premier lieu de son caractère exactement intégrable, contrairement au problème à trois corps et plus. En effet le problème à deux corps, qui possède a priori six degrés de liberté, peut se ramener en fait à la résolution d'un problème à un corps à un seul degré de liberté.

Par ailleurs, les résultats obtenus permettent de rendre compte des trajectoires des planètes dans le système solaire (dans le référentiel héliocentrique) ainsi que celle de leurs satellites naturels ou artificiels, au moins en première approximation. On retrouve alors les lois de Kepler, mis en évidence par l'analyse des observations astronomiques dès le XVII^e siècle. Ainsi, la situation envisagée est loin d'être purement académique. La première résolution de ce problème a été exposée par Newton, qui a énoncé la loi fondamentale de la mécanique classique : le résultat est annoncé dans les propositions 57 à 65 de ses Principia.

Cet article a pour objet l'exposé et le traitement général du problème à deux corps, avec la démonstration des lois de Kepler et l'étude détaillée des différents types de trajectoires envisageables. La question de la détermination des éléments d'orbite ainsi que les équations de Kepler et de Barker et leurs applications font l'objet d'articles séparés (cf les articles mouvement keplerien, équation de Kepler et éléments d'orbite).

Situation envisagée et notation

On considère deux corps matériels de masse $m_{1}$ et $m_{2}$, assimilés à des points matériels $M_1$ et $M_2$, respectivement, en interaction mutuelle, la force exercée par $M_1$ sur $M_2$ étant notée $\overrightarrow{F_{12}}$, et dérivant d'un potentiel attractif V(r). On a bien sûr en vertu de la troisième loi de Newton (ou principe des actions réciproques) $\overrightarrow{F_{21}} = - \overrightarrow{F_{12}}$ Le système global étant considéré comme isolé, on étudie le mouvement de $M_1$ et $M_2$ par rapport à un référentiel (R) supposé galiléen, dont le repère d'espace associé a pour origine O.

On pose dans la suite : $\overrightarrow{r_{1}} = \overrightarrow{OM_{1}}$, $\overrightarrow{r_{2}} = \overrightarrow{OM_{2}}$, et $\overrightarrow{r} \stackrel{\text{déf}}{=} \overrightarrow{r_{12}} = \overrightarrow{M_{1}M_{2}} = \overrightarrow{r_2} - \overrightarrow{r_1}$, les équations du mouvement dans (R) de chacun des corps s'écrivent alors, en utilisant la relation fondamentale de la dynamique :

$\begin{cases} m_{1}\ddot{\overrightarrow{{r_{1}}}} = \overrightarrow{F_{21}} = - \overrightarrow{F_{12}} \\ m_{2}\ddot{\overrightarrow{{r_{2}}}} = \overrightarrow{F_{12}} \end{cases}$, (1).

Réduction à un problème à un corps

Conservation de la quantité de mouvement - séparation du mouvement du centre de masse - référentiel barycentrique

En additionnant ces deux équations, on obtient aussitôt :

$m_1\ddot{\overrightarrow{r_1}} + m_2\ddot{\overrightarrow{r_2}} = \left( m_{1} + m_{2}\right) \ddot{\overrightarrow{R_{C}}} = \overrightarrow{0}$, avec C centre de masse du système, de vecteur position $\overrightarrow{R_{C}} = \overrightarrow{OC} = \frac{m_1\overrightarrow{r_1} + m_2\overrightarrow{r_2}}{m_{1} + m_{2}}$.

Par suite, et comme cela était attendu pour un système isolé, le mouvement du centre de masse C dans (R) est rectiligne et uniforme, et il est possible de se placer dans le référentiel du centre de masse (R_c), dit barycentrique, qui est donc également galiléen pour réécrire les équations du mouvement précédentes.

Introduction de la notion de particule fictive

Comme il est possible d'écrire :

$\begin{cases} \overrightarrow{r_1} = \overrightarrow{R}_C - \frac{m_2}{m_1 + m_2}\overrightarrow{r} \\ \overrightarrow{r_2} = \overrightarrow{R}_C + \frac{m_1}{m_1 + m_2}\overrightarrow{r} \end{cases}$, (2),

où l'on a posé $\overrightarrow{r} \stackrel{\text{déf}}{=} \overrightarrow{r_2} - \overrightarrow{r_1}$, il suffit de prendre la différence entre la seconde et la première des équations du mouvement (1), et d'utiliser le fait que $\ddot{\overrightarrow{R_C}}=\overrightarrow{0}$ (référentiel galiléen), il vient :

$\ddot{\overrightarrow{r}} = \left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\right)\overrightarrow{F_{12}} = \left(\frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2}\right) \overrightarrow{F_{12}}$,

on a donc l'équation du mouvement d'un seul corps, à trois degrés de liberté :

$\mu \ddot{\overrightarrow{r}} = \overrightarrow{F}$, où l'on a posé $\mu \stackrel{\text{déf}}{=} \frac{m_{1}m_{2}}{m_1 + m_2}$, masse réduite du système, et $\overrightarrow{F} =\overrightarrow{F_{12}}$.

On est donc ramené dans le référentiel barycentrique au problème du mouvement d'une particule dite fictive, de masse $\mu$ et de rayon-vecteur $\overrightarrow{r}$, les trajectoires des corps $M_1$ et $M_2$ se déduisant par homothétie, d'après les formules (2).

Il convient de remarquer que dans le cas particulier important où l'un des corps a une masse beaucoup plus importante que le second (corps central, généralement une étoile, ou une "grosse" planète), disons $m_1 \gg m_2$, le centre de masse du système est pratiquement confondu avec ce corps central, et on a pour la masse réduite $\mu \simeq m_2$. À noter toutefois que pour le mouvement de la Lune, qui possède la plus forte (du système solaire) masse relative d'un satellite par rapport à sa planète (1/81 Mt), cette approximation est relativement peu précise.

Intégrale première du moment cinétique - Planéité de la trajectoire - Loi des aires

Dans le cas particulier très important d'une force centrale, on a $\overrightarrow{F} = F(r)\overrightarrow{e_r}$ avec $\overrightarrow{e_r} \stackrel{\text{déf}}{=} \dfrac{\overrightarrow{r}}{r}$, le théorème du moment cinétique au centre de force noté O donne :

$\dot{\overrightarrow{L}} = \overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F} = \overrightarrow{0}$ d'où $\overrightarrow{L} = \overrightarrow{r}\times\left(\mu\dot{\overrightarrow{r}}\right) = \overrightarrow{\mathrm{cte}}$, par suite

le vecteur position et le vecteur vitesse de la particule fictive M étant à tout instant perpendiculaires à un vecteur constant, la trajectoire de M est plane, le problème est donc à deux degrés de liberté.

Dans le plan de la trajectoire, défini comme celui généré par $\overrightarrow{r}\left(t = 0\right) = \overrightarrow{r}_0$ et $\dot{\overrightarrow{r}}\left(t = 0\right) = \overrightarrow{v}_0$, on peut se placer en coordonnées cylindro-polaires d'axe la direction Oz de $\overrightarrow{L} = L\overrightarrow{e_z}$, avec $\theta$ angle entre $\overrightarrow{r}_0$ et $\overrightarrow{r}$, il vient :

$\overrightarrow{L} = \left(r\overrightarrow{e_r}\right)\times\mu\left(\dot{r}\overrightarrow{e_r}+\left(r\dot{\theta}\right)\overrightarrow{e_\theta}\right) = \mu r^2\dot{\theta}\overrightarrow{e_z}$, on a donc $\mu r^2\dot{\theta} = L = \mathrm{cte}$(3).

Or l'aire élémentaire balayée par le rayon-vecteur $\overrightarrow{r}$ pendant $\mathrm{d}t$ est donnée par $\mathrm{d}\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}r^2\mathrm{d}\theta$ ; par suite, on en déduit que la vitesse aréolaire est constante pour la particule fictive (il en est de même par homothétie pour les corps réels) :

$\dot{\mathcal{A}} = \frac{\mathrm{d}\mathcal{A}}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{2}C = \mathrm{cte}$, avec $C \stackrel{\text{déf}}{=} \frac{L}{\mu}$, constante des aires.

Par suite, le rayon vecteur de chaque particule balaie des aires égales en des temps égaux. Cette propriété est valable pour tout mouvement à force centrale. De par l'expression de C, il est facile de voir que la vitesse angulaire de la particule fictive est inversement proportionnelle à la distance r, et est donc maximale quand celle-ci est minimale, soit au périastre dans le mouvement Keplerien - cf. infra.

Remarques :

• Un mouvement circulaire uniforme est un cas simple de mouvement obéissant à la loi des aires ;
• L'expression (3) montre que la vitesse angulaire instantanée $\dot{\theta}$ ne change jamais de signe le long de la trajectoire : en quelque sorte, la particule fictive, et donc les deux corps "réels" "tournent" toujours dans le "même sens" sur leurs trajectoires ;
• Si L=0, le mouvement est rectiligne : ce cas particulier (dit dégénéré) sera exclu par la suite.

Intégrale première de l'énergie - potentiel effectif

Le mouvement étant conservatif puisque la force dérive d'une énergie potentielle V(r), l'énergie totale est une intégrale première du mouvement :

$H = \frac{1}{2}\mu\dot{\overrightarrow{r}}^2 +V(r) = \mathrm{cte}$, or $\dot{\overrightarrow{r}}^2 = \dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2$, soit en utilisant la relation (3) :

$H = \frac{1}{2}\mu\dot{r}^2+U_{\text{eff}}\left(r\right)$, (4),

avec $U_{\text{eff}}\left(r\right) \stackrel{\text{déf}}{=} \frac{L^2}{2\mu r^2} +V(r)$ potentiel effectif.

À ce stade le problème se ramène à l'étude du mouvement d'un seul corps à un seul degré de liberté r. Ceci permet une discussion sur la nature qualitative des mouvements possibles de la particule fictive.

Résolution analytique

D'après (4), il est possible d'exprimer la vitesse radiale $\dot{r}$, il vient : $\dot{r}=\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}= \sqrt{\frac{2}{\mu}\left(H-V(r)\right)-\frac{L^2}{\mu^2r^2}}$.

Il est alors possible de séparer les variables et d'intégrer entre deux instants t0 et t auxquels correspondent respectivement les positions radiales r0 et r, il vient :

$t-t_0 = \int_{r_0}^{r} \frac{\mathrm{d}r'}{\sqrt{\frac{2}{\mu}\left(H-V(r')\right)-\frac{L^2}{\mu^2r'^2}}}$, (4bis).

On obtient ainsi, de façon implicite, l'équation horaire r(t).

Compte tenu de (4) il est alors possible d'obtenir une expression similaire pour $\theta$ :

$\theta-\theta_0 = \int_{r_0}^{r} \frac{\frac{L^2}{r'^2}\mathrm{d}r'}{\sqrt{2\mu\left(H-V(r')\right)-\frac{L^2}{r'^2}}}$, (4ter).

Ces expressions sont en pratique difficiles à utiliser : toutefois, elles s'avèrent utiles pour la discussion qualitative qui suit.

Etude qualitative des mouvements possibles

Dans l'expression de $U_{\text{eff}}\left(r\right)$ le terme $\frac{L^2}{2\mu r^2}$, toujours positif, correspond à une barrière centrifuge. Le potentiel V(r) étant supposé :

• attractif : on a donc V(r) monotone croissant pour tout r ;
• régulier en l'origine : c'est-à-dire $\lim_{r\to 0^+}r^2\left|V(r)\right| = 0$, et donc le terme en $1/r^2$ domine quand $r\to 0^+$.

Bien que cela ne soit pas indispensable, dans la suite on supposera également V(r) borné à l'infini, soit avec un choix judicieux de l'origine des potentiels $\lim_{r \to \infty} V(r) = 0^+$. On prend par convention V(r) < 0.

Avec ces conditions, valables pour les potentiels physiques usuels, le potentiel effectif présente un minimum absolu unique noté $-U_{min}<0$ pour $r = r_m$ tel que $\left.\frac{\mathrm{d}U_{\text{eff}}}{\mathrm{d}r}\right|_{r=r_m} = 0$, et possède donc une cuvette de potentiel (cf. figure ci-contre, avec un potentiel newtonien).

Allure de la courbe du potentiel effectif Ueff(r) avec les contributions des différents termes

Par ailleurs on a d'après (4) : $H-U_{\text{eff}}\left(r\right) = \frac{1}{2}\mu \dot{r}^2 \geqslant 0$, on doit donc avoir pour les valeurs de r permises $U_{\text{eff}}\left(r\right) \leqslant H$.

Il est possible d'envisager qualitativement les cas suivants (on suppose bien sûr ici L' non nul) :

• Énergie totale H>0 : puisque $U_{\text{eff}}\left(r\right) \longrightarrow 0^-$ quand $r \to \infty$, cette condition est vérifiée pour toute valeur de $r \geqslant r_{min}$ avec $r_{min}$ distance minimale d'approche telle que $U_{\text{eff}}\left(r_{min}\right) = H$. La particule fictive peut donc aller à l'infini avec une vitesse radiale positive, égale à $\dot{r}_{max} = \sqrt{\dfrac{2H}{\mu}}$.

• Energie totale H = 0 : cas limite où la particule peut aller à l'infini mais avec une vitesse radiale nulle d'après la formule précédente, la distance minimale d'approche étant telle que $U_{\text{eff}}\left(r_{min}\right) = 0$, soit $V\left(r_{min}\right)= -\frac{L^2}{2\mu r_{min} ^2}$.

• Energie totale $0 > H > -U_{min}$ : dans ce cas la particule est confinée dans une région précise de l'espace comprise entre les deux valeurs de r telles que $U_{\text{eff}}\left(r_{min,max}\right) = H <0$ (points d'arrêt). La vitesse radiale s'annule à chacun de ces points, toutefois ce n'est pas le cas de la vitesse angulaire instantanée (cf. expression (4) et remarques à son sujet).

Le mouvement est donc confiné dans une région finie de l'espace, la durée ?t pour que r varie de rmin à rmax peut être obtenue aisément en utilisant (4bis). Or du fait de l'invariance dans le temps du hamiltonien, cette durée sera la même pour aller de rmax à rmin, le mouvement radial est donc périodique de période T donnée par :

$T = 2\int_{r_{\text{min}}}^{r_{\text{max}}} \frac{\mathrm{d}r}{\sqrt{\frac{2}{\mu}\left(H-V(r)\right)-\frac{L^2}{\mu^2r^2}}}$,

et en une période "radiale l'angle ? varie de la quantité ?? donnée par (cf. (4ter)) :

$\Delta\theta = 2\int_{r_{\text{min}}}^{r_{\text{max}}} \frac{\frac{L^2}{r^2}\mathrm{d}r}{\sqrt{2\mu\left(H-V(r)\right)-\frac{L^2}{r^2}}}$.

Par suite, si le mouvement est confiné, il n'y a aucune raison que la trajectoire du mobile soit une courbe fermée. En effet pour cela il faudrait que l'on ait $\Delta\theta = \frac{2\pi m}{n}$ avec m et n entiers. Dans ce cas, et seulement dans ce cas, le rayon vecteur $\overrightarrow{r}$ retrouve sa valeur initiale après n périodes « radiales » T, puisque qu'alors il aura « tourné » de 2mp : nT sera en fait la période du mouvement et de la fonction ?(t). On dit qu'alors les deux périodes radiale et angulaire sont commensurables entre elles, et il s'agit une condition nécessaire et suffisante pour que le mouvement borné s'effectue selon une courbe fermée. Cette condition n'est remplie que par le potentiel newtonien en 1/r et le potentiel harmonique spatial isotrope V(r)=kr^2 (ce dernier cas ne sera pas considéré plus avant) : ce résultat constitue le théorème de Bertrand.

• Énergie totale $H = - U_{min} < 0$ : il s'agit du cas limite où la seule valeur permise de r est $r_m$, dans ce cas la trajectoire est un cercle de ce rayon.

• Synergie totale $H < - U_{min}$ : ces valeurs de r sont interdites et ne correspondent à rien de physique.

Il sera montré plus bas que chacun de ces cas correspond aux formes particulières de trajectoires pour le mouvement keplerien, à savoir une hyperbole, une parabole, une ellipse et un cercle. La discussion précédente peut être résumée graphiquement sur la figure ci-après.

Mouvements permis dans le potentiel effectif Ueff(r) en fonction des valeurs de l'énergie totale H, cf. discussion dans le texte.

Dégénérescence du mouvement

L'étude précédente a été faite en supposant $L \ne 0$. Si L = 0, on a tout simplement $\dot{\theta}=0$ à tout moment et le mouvement est purement radial : on dit qu'il est dégénéré. La discussion précédente se simplifie, la condition (4bis) précédente se résume à $V(r) \leqslant H$, vérifié dans tous les cas si $H \geqslant 0$. Dans le cas contraire, il est facile de vérifier que la particule "tombe" sur le centre de force.

Cas du mouvement keplerien

Article détaillé : Mouvement keplerien.

Le mouvement keplerien correspond au cas où les deux corps sont en interaction gravitationnelle, on a alors $V(r)= -\frac{Gm_1 m_2}{r}$, et donc $\overrightarrow{F} = - G \frac{m_{1}m_{2}}{r^2}\overrightarrow{e_r} =- G \frac{\mu M_T}{r^2}\overrightarrow{e_r}$, avec $M_T \stackrel{\text{déf}}{=} m_1 + m_2$ masse totale du système. Tout se passe alors comme si la particule fictive M subissait l'interaction gravitationnelle d'un corps affecté de la masse totale du système placé à l'origine O du rayon-vecteur. Si les résultats généraux précédents, valables d'ailleurs pour tout mouvement dans un potentiel central conservatif V(r), permettraient d'ores et déjà de déterminer l'équation horaire de r = r(t), le potentiel newtonien possède une intégrale première particulière, le vecteur de Runge-Lenz, qui permet d'obtenir de façon simple l'équation de la trajectoire.

Invariant de Runge-Lenz - équations de la trajectoire

Existence d'une intégrale première additionnelle

Le potentiel newtonien en $1/r^2$ se caractérise par l'existence d'un invariant supplémentaire particulier, que l'on peut mettre en évidence de la façon suivante. On considère :

$\ddot{\overrightarrow{r}}\times\overrightarrow{L} = \frac{d\left(\dot{\overrightarrow{r}}\times\overrightarrow{L}\right)}{\mathrm{d}t} = \ddot{\overrightarrow{r}}\times\left[\overrightarrow{r}\times\left(\mu\dot{\overrightarrow{r}}\right)\right]$, où il a été tenu compte de $\overrightarrow{L}=\overrightarrow{\mathrm{cte}}$, ce qui donne :

$\frac{d\left(\dot{\overrightarrow{r}}\times\overrightarrow{L}\right)}{\mathrm{d}t} = -\frac{GM_T\mu}{r^2}\times\left(\mu r^2\dot{\theta}\overrightarrow{e_z}\right) = GM_T\mu\dot{\theta}\overrightarrow{e_{\theta}}$, où il a été tenu compte de la planéité de la trajectoire, or compte tenu de $\dot{\theta}\overrightarrow{e_{\theta}} = \dot{\overrightarrow{e_r}}$ il vient aussitôt :

$\frac{d}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\left(\dot{\overrightarrow{r}}\times\overrightarrow{L}\right)}{GM_T\mu}-\overrightarrow{e_r}\right)= \overrightarrow{0}$, par suite le vecteur suivant, sans dimension, dit de Runge-Lenz ou vecteur excentricité est une intégrale première du mouvement : $\overrightarrow{e} = \frac{\left(\dot{\overrightarrow{r}}\times\overrightarrow{L}\right)}{GM_T\mu}-\overrightarrow{e_r}$, (5).

Équation de la trajectoire de la particule fictive

Il est évident que $\overrightarrow{L}\cdot\overrightarrow{e} = 0$ donc $\overrightarrow{e}$ est contenu dans le plan du mouvement. Par suite, on peut prendre comme angle polaire l'angle w entre $\overrightarrow{e}$ et $\overrightarrow{r}$, on a bien sûr $\dot{\theta}=\dot{w}$, et en notant e la norme de $\overrightarrow{e}$ on obtient :

$\overrightarrow{r}\cdot\overrightarrow{e} = re \cos{w} = \frac{\overrightarrow{r}\cdot\left(\dot{\overrightarrow{r}}\times\overrightarrow{L}\right)}{GM_T\mu} - r$, soit compte tenu de l'identité $\overrightarrow{r}\cdot\left(\dot{\overrightarrow{r}}\times\overrightarrow{L}\right) = \overrightarrow{L}\cdot\left(\overrightarrow{r}\times\dot{\overrightarrow{r}}\right) = \frac{L^2}{\mu}$ :

$r\left(1+e \cos{w}\right)= p$, avec $p \stackrel{\text{déf}}{=} \frac{L^2}{GM_T\mu^2}$.

Physiquement, on a $p = r_m$, valeur de r pour laquelle $U_{\text{eff}}(r)$ est minimal, en effet puisque $U_{\text{eff}}(r) = \frac{L^2}{2\mu r^2}-\frac{GM_T \mu}{r}$, on arrive facilement par dérivation à $\frac{L^2}{\mu r_m}=GM_T \mu$ soit en effet $r_m = p$.

On obtient donc l'équation d'une 'conique' d'excentricité e et de paramètre p : $r = \frac{p}{\left(1+e \cos{w}\right)}$, (6), dont le centre de force occupe l'un des foyers. Le vecteur $\overrightarrow{e}$ est donc dirigé vers le point de distance minimale (ou périastre), distance notée q avec $q=p/\left(1+e\right)$, correspondant à w = 0. En ce point, la vitesse angulaire orbitale $\dot{w_0} = \dot{\theta_0}$ est maximale. L'angle w est appelé anomalie vraie en astronomie.

Par homothétie, chacun des corps réels décrit dans le référentiel barycentrique une conique dont le centre de masse occupe l'un des foyers. La valeur de e détermine la nature de la conique :

• Si e > 1, la trajectoire est une hyperbole : dans ce cas les corps célestes ne sont pas liés et peuvent aller à l'infini ;

• Si e = 1, la trajectoire est une parabole ;

• Si 0 < e < 1, la trajectoire est une ellipse. C'est le cas des planètes et de la plupart des autres corps du système solaire, où par surcroît le centre de masse est pratiquement confondu avec la position du Soleil, ce qui permet de retrouver la première loi de Kepler (1609) : « Au cours de leur mouvement autour du Soleil, les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil occupe l'un des foyers ». La seconde loi (1609 également) découle directement de la constance de la vitesse aréolaire, et porte d'ailleurs le nom de loi des aires : « Le rayon-vecteur reliant le Soleil à une planète balaie des aires égales en des temps égaux ».

• Si e=0, la trajectoire est circulaire.

Remarque sur le caractère particulier du champ newtonien

L'obtention de trajectoires fermées pour les champs newtoniens est remarquable, et découle en fait d'une symétrie particulière. En effet, d'après le théorème de Noether, les lois de conservation sont liées à l'existence de symétrie particulière du problème.

Ainsi l'invariance par translation du système global des deux corps (liée au caractère supposé isolé du système) conduit à la conservation de la quantité de mouvement du système global, tandis que l'invariance par rotation (isotropie) du champ central conduit à celle du moment cinétique et l'invariance par translation dans le temps (qui suppose l'absence de « frottements ») à la conservation de l'énergie totale. L'existence de ces intégrales premières permet de passer successivement de 6 à 3 puis 2 et enfin un degré de liberté. Toutefois, même pour le mouvement fini, les deux corps n'ont aucune raison de décrire des courbes fermées, et seule une symétrie additionnelle y conduit, et se traduit par l'existence de l'intégrale première particulière du champ en 1/r², le vecteur de Runge-Lenz (ou, de façon équivalente, le vecteur excentricité).

Il est clair d'après ce qui précède que l'équation de la trajectoire s'obtient simplement par projection du rayon-vecteur sur ce vecteur constant particulier qui définit une direction particulière de l'espace, en pratique l'axe de la conique. Ce type de symétrie ne peut cependant s'interpréter correctement qu'à quatre dimensions, cf. article particulier.

En mécanique quantique, on retrouve cet observable supplémentaire dans l'étude de l'atome d'hydrogène, qui correspond à un problème à deux corps quantique, et ceci se traduit par la dégénérescence « accidentelle » des niveaux d'énergie de l'électron, qui ne dépendent pas du nombre quantique orbital l lié au moment cinétique. Là encore, une symétrie additionnelle spécifique au champ coulombien, et interprétable seulement à 4 dimensions, explique ce phénomène.

En creux, ces considérations montrent que dans un cas où l'on tient compte des perturbations des autres corps célestes, le potentiel subi ne sera plus en 1/r² et l'on doit s'attendre à ce que le vecteur de Runge-Lenz ne soit plus strictement une intégrale première du mouvement, et donc que les trajectoires ne soient plus rigoureusement des coniques, courbes fermées (pour 0 < e < 1). C'est de fait ce que l'on observe, avec des orbites elliptiques qui « tournent » lentement dans l'espace, phénomène d'avance du périhélie, qui en toute rigueur s'interprète dans le cadre de la relativité générale.

Relation entre l'excentricité et les intégrales premières du mouvement

On considère un repère d'espace Oxyz fixe lié à (Rc), l'axe Ox de la conique, orienté vers le point de distance minimale au foyer de vecteur unitaire $\overrightarrow{e_x}$, Oz la direction du moment cinétique $\overrightarrow{L}$, et comme au périastre on a $\dot{r} =0$ et r = qon peut exprimer l'intégrale première de l'énergie en fonction de cette distance minimale, il vient :

$H = \frac{L^2}{2\mu q^2}-\frac{GM_T\mu}{q}$, d'où l'on tire l'expression $L^2=2\mu q^2H+2GM_T\mu^2q$, (7).

De même, il est possible d'exprimer le vecteur excentricité de façon simple :

$\overrightarrow{e} = \frac{\left(q\dot{\theta_0}\overrightarrow{e_y}\right)\times\left(L\overrightarrow{e_z}\right)}{GM_T\mu}-\overrightarrow{e_x} = \left(\frac{r_{min}\dot{\theta_0}L}{GM_T\mu}-1\right)\overrightarrow{e_x}$, or puisque $q\dot{\theta_0} = \frac{L}{\mu q}$ on obtient finalement : $\overrightarrow{e}=\left(\frac{L^2}{GM_T\mu^2 q}-1\right)\overrightarrow{e_x}$, (8).

En remplaçant dans cette expression celle obtenue en (7) de $L^2$, il vient pour l'expression de l'excentricité de la conique :

$e=1+\frac{2qH}{GM_T\mu}$, (9).

On peut alors éliminer q dans cette expression compte tenu de $q = \frac{p}{1+e} = \frac{L^2}{G^2M_T ^2 \mu^3 (1+e)}$, afin d'obtenir une expression reliant l'excentricité e avec les deux intégrales premières H et L. Il vient en remplaçant dans (9) :

$(e+1)(e-1)=\frac{2L^2H}{G^2M_T ^2\mu^3}$, soit au final: $e=\sqrt{1+\frac{2L^2 H }{G^2M_T ^2\mu^3}}$, (10).

Les expressions (9) et (10) n'ont bien sûr de sens que si $e \geqslant 0$, et permettent de retrouver les différents cas vus plus haut :

• Cas de la trajectoire hyperbolique : e > 1 donc on a H > 0, comme il a été dit le mobile fictif peut aller en l'infini, avec une vitesse purement radiale non-nulle donnée par $\dot{r}_{max} = \sqrt{\dfrac{2H}{\mu}}$ ;

• Cas de la trajectoire parabolique : e = 1 implique H = 0, là-aussi le mobile peut aller en l'infini avec une vitesse nulle.

• Cas de la trajectoire elliptique : 0 < e < 1 implique que l'on a $-\frac{GM_T\mu}{2q} < H <0$ .

• Cas de la trajectoire circulaire : e = 0 donc $H= -\frac{GM_T\mu}{2q} = - \frac{G^2M_T ^2 \mu^3}{2L^2}$.

Remarque : dans le cas d'un engin spatial en orbite, capable de modifier son énergie cinétique et donc H et L, la relation (10) montre que l'on peut ainsi, en « choisissant » correctement l'impulsion correctrice, modifier la valeur de l'excentricité e de la trajectoire : ceci est couramment employé pour amener les satellites vers les orbites désirées en utilisant des "orbites de transfert" appropriées. On peut même le cas échéant échapper à l'attraction terrestre, pour des sondes interplanétaires par exemple.

Cas du mouvement elliptique

Le mouvement Keplerien elliptique est très important pour l'astronomie (orbites des planètes dans le système solaire, satellites artificiels, par exemple). Il sert en tout cas de point de départ à des calculs plus avancés, la prise en compte de l'influence d'autres corps célestes ou d'autres facteurs se faisant le plus souvent comme perturbation de ce mouvement « idéal ».

Principaux paramètres de la trajectoire

Une ellipse peut se définir comme le lieu des points M tels que la somme des distances à deux points fixes appelés foyers notés F₁ et F₂ est constante : $d(F_1,M)+d(F_2,M) = 2a$, a étant le demi-grand axe de l'ellipse, c'est-à-dire la demi-distance entre les deux sommets que sont pour une trajectoire le périastre P et l'apoastre A, point le plus éloigné du centre de force (qui occupe l'un des foyers) de l'orbite (cf. figure).

Principaux paramètres de la trajectoire elliptique, cf. discussion dans le texte. D'après un fichier original de Haui

En notant Q la distance au foyer de ce dernier point, qui correspond à $w=\pi$, il vient : $Q = p/\left(1-e\right)$, et on en déduit $a = p/\left(1-e^2\right)$. L'ellipse possède un centre de symétrie O à mi-distance des foyers, par lequel passent ses deux axes de symétrie perpendiculaires, dits grand et petit axe.

Le paramètre p de l'ellipse correspond lui à la valeur de r pour w = p/2.

La demi-distance au foyer est notée c, on a de façon évidente $c=a-q = e\frac{p}{1-e^2}=ea$. On déduit le demi-petit axe, noté b : $b=\sqrt{a^2-c^2}=a\sqrt{1-e^2}$. On peut éliminer e entre les équations donnant a et b, il vient l'expression du paramètre de l'ellipse : $p=b^2/a$.

En combinant ces formules, on obtient respectivement pour le périastre q et l'apoastre Q : $q = a(1-e)$ et $Q = a(1+e)$.

Aspects énergétiques - Équation des forces vives

En remplaçant l'expression de la distance au périastre $q = a\left(1-e\right)$dans la relation (9) excentricité-énergie, il vient :

$1-e = -\frac{2qH}{GM_T\mu} = -\frac{2Ha\left(1-e\right)}{GM_T\mu}$, d'où l'on tire l'expression de l'énergie mécanique totale en fonction de la valeur du demi-grand axe a :

$H =- \frac{GM_T\mu}{2a}$, (10bis).

Par suite, l'énergie totale est égale à la moitié de l'énergie potentielle de gravitation pour r = a. Comme H = \mathrm{cte}, on a alors :

$H = - \frac{GM_T\mu}{2a} = \frac{1}{2}\mu v^2-\frac{GM_T \mu}{r}$, d'où l'on tire l'expression de la valeur de la vitesse v de la particule sur la trajectoire en fonction de r et a, dite équation des forces vives :

$v=\sqrt{GM_T \left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)}$, (10ter).

Cette équation est d'usage fréquent en astronautique. On constate donc que la mesure du demi-grand axe est directement liée à l'énergie totale de la particule fictive, et que si $\left|H\right|\to0$ on a $a\to\infty$, comme on doit s'y attendre puisque la trajectoire elliptique tend alors vers une trajectoire parabolique.

Troisième loi de Kepler

Les mouvement elliptique étant fini, il est périodique de période T, dite période de révolution ou période orbitale, les lois physiques étant invariantes par translation dans le temps. Or cette période est facile à mesurer pour un corps céleste donné par des observations astronomiques, comme l'est également la valeur du demi-grand axe a. Or il existe une relation simple entre période de révolution et demi-grand axe, mise en évidence expérimentalement pour la première fois par Kepler en 1618.

La vitesse aréolaire étant constante avec $\dot{\mathcal{A}} = \frac{L}{2\mu}$, on obtient en intégrant sur la période T du mouvement l'aire totale de l'ellipse, égale à pab, d'où l'identité $\pi ab = \frac{LT}{2\mu}$, qui donne $L^2=\frac{4\pi^2\mu^2a^2b^2}{T^2} = 4\pi^2\mu^2p\frac{a^3}{T^2}$, où il a été fait usage de $p=b^2/a$.

Or par définition, $p=\frac{L^2}{GM_T\mu^2}$ ce qui donne au final en éliminant le moment cinétique la relation fondamentale : $\frac{a^3}{T^2} = \frac{GM_T}{4\pi^2}$.

Autrement dit : les cubes des demi-grand axes des orbites sont proportionnels aux carrés des périodes de révolution.

Dans le cas d'une planète du système solaire, la masse du Soleil est pratiquement égale à la masse totale du système, et on écrit $\frac{a^3}{T^2} = \frac{k}{4\pi^2}$, avec $k\stackrel{\text{déf}}{=} GM_S$ constante de Gauss.

En faisant cette approximation, on peut écrire pour deux planètes quelconques du système solaire, avec des notations évidentes :

$\frac{a_1 ^3}{T_1 ^2}=\frac{a_2 ^3}{T_2 ^2}$.

Ainsi la connaissance du demi-grand axe d'une planète (par exemple la Terre, que l'on peut mesurer très précisément par des méthodes astrométriques) et des périodes orbitales (par des observations) permet de déterminer les demi-grands axes de toutes les planètes du système solaire. On peut procéder de même pour tous les autres "systèmes" (e.g. une étoile et ses planètes, une planète et ses satellites...) où l'on peut négliger la masse d'un corps donné devant celle du corps "central" (étoile, planète).

On appelle moyen mouvement, noté n, la vitesse angulaire moyenne du corps céleste sur son orbite : $n \stackrel{\text{déf}}{=} \frac{2\pi}{T}$, on a donc d'après la troisième loi de Kepler :

$n = \sqrt{\frac{GM_T}{a^3}}$.

Cas limite de la trajectoire circulaire - vitesse de satellisation minimale

Quand e =0 l'ellipse est dégénérée et se ramène à un cercle de rayon R = p et de centre O, confondu avec les deux foyers. Tout axe passant par le centre est axe de symétrie de la trajectoire. D'après (3) la vitesse angulaire $\dot{\theta} = L/\mu p^2$ est constante (on retrouve donc bien une « loi des aires » triviale).

Sur le plan énergétique, d'après la formule (10) et comme il a été dit précédemment (cf. partie 3.1-4, cela correspond au minimum physique de l'énergie totale H avec $H= -\frac{GM_T\mu}{2R} = - \frac{G^2M_T ^2 \mu^3}{2L^2}$, donc une énergie cinétique radiale $\dfrac{1}{2}\mu\dot{r}^2$ nulle. L'énergie potentielle effective $U_{\text{eff}}(r)$ est donc minimale, ce qui correspond physiquement au point où les termes de barrière centrifuge en 1/r^2 et du potentiel attractif "centripète" en 1/r s'équilibrent.

Ce n'est que pour cette énergie mécanique minimale que l'on peut avoir satellisation du mobile fictif autour du centre de force à la distance R (et donc également d'un corps "réel" autour de l'autre), une valeur plus basse conduit à la « retombée » de la particule fictive sur le centre de force. À cette énergie mécanique minimale correspond une valeur particulière de la vitesse v dite vitesse de satellisation minimale ou « première vitesse cosmique ». En effet, d'après l'équation des forces vives (10ter), on pour la trajectoire circulaire de rayon R = a une vitesse purement orthoradiale et de valeur constante donnée par :

$v_1 = \sqrt{\frac{GM_T}{R}}$, (11).

Dans les applications (astronautique), cette vitesse est en fait indépendante de la masse du corps « satellite », puisque la masse totale équivaut alors à celle de l'astre « central ».

Exemple : Pour la Terre, on a au minimum R = 6 400 km (surface de la Terre), ce qui donne environ $v_1 \approx 7,9\ \mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$.

Cas du mouvement parabolique

Le mouvement parabolique est un cas limite du mouvement elliptique quand l'excentricité e tend vers 1. Intuitivement, cela correspond à une ellipse de plus en plus allongée, le périastre P se rapprochant du foyer $F_1$, l'autre foyer $F_2$ se retrouvant lui « projeté » de plus en plus loin. À la limite il est rejeté à l'infini tout comme l'apoastre A, et l'ellipse « s'ouvre » au niveau du point A pour donner une parabole.

Principaux paramètres de la trajectoire parabolique, cf. discussion dans le texte

Principaux paramètres de la trajectoire

Ce cas correspond à e = 1, et l'équation polaire au foyer de la trajectoire s'écrit alors : $r = \frac{p}{1+ \cos w}$. Le périastre P correspond à w = 0 et est situé à la distance q = p/2 du foyer F, et on a $r \to +\infty$ pour $w \to \pi$. La direction (FP) est axe de symétrie de la courbe, et il n'existe par d'apocentre à distance finie.

La figure ci-contre récapitule les principales caractéristiques de la trajectoire.

Aspect énergétiques - vitesse de libération

D'après la relation (10) et comme indiqué précédemment, ce cas limite correspond à H=0. Dans ce cas, l'énergie cinétique totale est toujours égale à l'énergie potentielle de gravitation, soit à r donné : $\frac{1}{2}\mu v^2=\frac{GM_T \mu}{r}$, il vient aussitôt une expression simple de la vitesse sur la trajectoire à r quelconque, qui correspond à l'équation des forces vives pour le mouvement keplerien parabolique : $v=\sqrt{\frac{2GM_T}{r}}$, (12).

Cette relation correspond à l'équation dite des forces vives trouvée pour le mouvement elliptique, relation (10ter), avec $a \to \infty$.

Cette valeur de la vitesse est maximale au périastre situé à la distance r=q, où la vitesse est purement orthoradiale. On définit dès lors pour une distance R donnée la vitesse de libération ou "seconde vitesse cosmique" comme $v_2=\sqrt{\frac{2GM_T}{R}}=\sqrt{2}v_1$.

Il s'agit alors de la vitesse minimale qu'il faut imprimer (de façon orthoradiale) à la particule fictive placée à la distance R donnée du centre de force pour que celle-ci puisse « échapper » à l'attraction gravitationnelle exercée par celui-ci, en lui permettant d'aller à l'infini, suivant une trajectoire parabolique.

Exemple : Pour la Terre depuis sa surface, on a $v_2 \approx 11,2\ \mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$.

Concrètement, il est possible de donner à un objet tel qu'une sonde spatiale une trajectoire parabolique de foyer le centre C d'un astre donné (comme la Terre) et de sommet un point donné M de l'espace tel que R=CM en communiquant à l'engin une vitesse de valeur égale à la vitesse de libération pour R, et dirigée perpendiculairement à la direction radiale (CM). Ceci peut parfaitement être fait depuis une orbite elliptique initiale, en partant du périastre : en effet, en ce point la vitesse de l'engin est orthoradiale et a une valeur maximale, bien que la vitesse de libération au périastre soit plus élevée que celle à l'apoastre.

Cas du mouvement hyperbolique

Principaux paramètres de la trajectoire

Si e > 1, la valeur de r tend vers l'infini pour $w_\infty = \arccos{\left(-\frac{1}{e}\right)}$, les deux directions $w = w_\infty$ et $w=2\pi-w_\infty$, symétriques par rapport au grand axe (FP), définissent les asymptotes à la courbe de la trajectoire. Les valeurs de w telles que $w_\infty < w<2\pi-w_\infty$ correspondent à des valeurs de r négatives : il s'agit en fait de l'autre branche de l'hyperbole, qui serait parcourue dans le cas d'un champ répulsif (cf. diffusion Rutherford). Physiquement, la seule branche parcourue est celle la plus proche du foyer F.

Principaux paramètres du mouvement keplerien hyperbolique, pour e=2 et e=5.

Les deux asymptotes de l'hyperbole se coupent en un point O du grand axe, centre de symétrie de la courbe mathématique complète, à deux branches. On peut définir un point F’ symétrique de F par rapport à O qui est le foyer de la deuxième branche de l'hyperbole. Comme pour toutes les coniques, le périastre P est situé à la distance $q=\frac{p}{1+e}$ du foyer et constitue le sommet de la trajectoire. On peut définir un "apoastre" A correspondant à w = p, et correspondant au sommet de la deuxième branche. Ce point est situé à la distance $Q=\frac{p}{\left|1-e\right|}=\frac{p}{e-1}$ du foyer, la distance entre P et A' correspondant étant $2a\stackrel{\text{déf}}{=} Q-q=2\frac{p}{e^2-1}$. Cette valeur du "demi-grand axe" a permet d'écrire $p=a(e^2-1)$, $q=a(e-1)$ et $Q=a(e+1)$, la distance du centre de symétrie O à un foyer étant ae.

La courbe ci-contre résume les caractéristiques de la trajectoire en montrant deux exemples d'hyperboles, de même paramètre, une avec e = 2 et l'autre avec e=5.

Aspects énergétiques - équation des forces vives

Il est possible de mettre en évidence comme pour le cas de la trajectoire elliptique une relation entre H et le demi-grand axe a de l'hyperbole défini plus haut. En effet au périastre P où r = q = a(e-1) la vitesse est purement orthoradiale et l'énergie mécanique H s'exprime sous la forme : $H=\frac{1}{2}\mu v^2-\frac{GM_T \mu}{q}=\frac{L^2}{2\mu a^2(e-1)^2}-\frac{GM_T \mu}{a(e-1)}$, or on a $L^2=GM_T \mu^2 p=GM_T \mu^2 a(e^2-1)$, ce qui donne par substitution dans l'équation précédente :

$H=\frac{GM_T \mu}{a(e-1)}\left(\frac{e-1)}{2}-1\right)$, soit au final la relation: $H=\frac{GM_T\mu}{2a}$, (13).

Cette relation est identique à celle obtenue pour le mouvement elliptique, en changeant a en -a. On obtient alors, en procédant de la même façon que pour le cas elliptique, l'équation des forces vives pour le mouvement hyperbolique :

$v=\sqrt{GM_T \left(\frac{2}{r}+\frac{1}{a}\right)}$, (14).

Observations astronomiques

Pluton et Charon donnent, dans le système solaire, un bon exemple de couple où les deux membres sont de taille différente, mais aucun n'est négligeable devant l'autre. Le système plutonien comprend deux autres corps, mais leur influence est négligeable par rapport aux deux plus gros.

On observe qu'il existe des couples d'étoiles binaires.

Les limites de la résolution classique

Dans le cas de systèmes massifs en orbite très resserrée, l'approximation newtonienne devient insuffisante pour décrire le mouvement des deux corps, et des effets de relativité générale doivent être pris en compte. C'est notamment le cas dans les pulsars binaires. L'orbite des deux corps doit alors être décrite en faisant intervenir des paramètres supplémentaires appelés paramètres post-képleriens.

L'approximation de la masse nulle

Comme on l'a vu, pour deux corps isolés du reste de l'univers (c'est-à-dire qu'on considère que les forces appliquées sur les deux objets par le reste de l'univers sont négligeables), les deux objets sont en orbite elliptique admettant comme un de ses foyers le centre de masse de l'ensemble (dans un référentiel galiléen). Quand un des objets est bien plus lourd que l'autre, le mouvement de l'objet le plus lourd est imperceptible.

On fait donc l'approximation de supposer l'objet le plus lourd (1) fixe ; son centre de masse est un des foyers de la trajectoire elliptique de l'autre corps (2).

L'accélération du corps 1 est proportionnelle à la masse du corps 2, indépendante de la masse du corps 1, et inversement. En faisant tendre vers zéro la masse du corps 2, on trouve bien la fixité du corps 1.

On peut alors introduire le concept fictif de particule de masse infinitésimale, utilisée dans la définition de l'unité astronomique. En effet, la définition actuelle de cette unité implique une particule de masse infinitésimale, donc n'exerçant aucune force sur le Soleil.

Le concept d'un objet de masse réellement nulle pose un léger problème en mécanique newtonienne. En effet, l'accélération exercée par le Soleil sur un corps est indépendante de sa masse, et demeure la même lorsque cette masse tend vers zéro, puisque la force de gravitation est proportionnelle à la masse et l'accélération, inversement proportionnelle à la force. Dès lors, on peut se demander ce qui se passe quand la masse est nulle. Un premier raisonnement est de considérer que l'accélération reste la même, puisqu'elle ne change pas lorsque la masse tend vers zéro. Mais on peut objecter que la masse étant nulle, il n'y a aucune force de gravité entre les deux corps. Mais la force provoquant une accélération d'un corps de masse nulle est effectivement nulle, sans que l'accélération le soit nécessairement. Dans tous les cas, la force exercée sur le corps massif est nulle. Et dans tous les cas, la conservation de la quantité de mouvement est vérifiée.

Finalement, la mécanique newtonienne laissait irrésolue la question « quelle accélération subit un corps de masse nulle sous l'effet de la gravitation ? ». Cette question fut tranchée par la relativité générale, qui fait de la gravitation une courbure de l'espace-temps lui-même, et donc indique sans ambiguïté que les corps de masse nulle sont également accélérés par la gravité.

Illustrations

Quelques animations représentant les orbites de deux corps (ronds blancs) autour du barycentre (croix rouge).

Deux corps de même masse	Un corps de masse légèrement plus importante que l'autre	Un corps de masse plus importante que l'autre	Un corps de masse bien plus importante que l'autre
Deux corps de même masse, orbites elliptiques		Un corps de masse plus importante que l'autre en mouvement linéaire

Références

Ouvrages utiles :

• Dumoulin et Parisot, Astronomie pratique et informatique, Masson, Paris, 1987.
• Perez, Cours de physique : mécanique - 4^e édition, Masson, Paris, 2001.
• Landau et Lifchitz, Cours de physique - Tome I : Mécanique, Ellipses - Marketing, Paris, 1994.

Sur Internet :

• Luc Duriez, Cours de mécanique céleste classique, université Lille-I / IMCCE, 2002, très complet, disponible à l'adresse suivante en pdf : http://www.imcce.fr/fr/formations/cours/CoursMC_Duriez/mc/CoursMCecr_Duriez.pdf .

Voir aussi

• Problème à N corps
• Mouvement à force centrale
• Cinématique > Mouvement elliptique
• Lois de Kepler