Principe de D'Alembert

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D'Alembert.
Lagrange.

Le principe de d'Alembert est un principe de mécanique analytique affirmant que l'ensemble des forces de contrainte d'un système ne travaille pas lors d'un déplacement virtuel.

Ce principe a été énoncé, en des termes différents, en 1743 par Jean le Rond D'Alembert dans son Traité de dynamique ; il a ensuite été utilisé par Joseph-Louis Lagrange dans le développement de la mécanique analytique, notamment pour redémontrer en 1788 les équations d'Euler-Lagrange à partir du principe fondamental de la dynamique, sans passer par le principe de moindre action (méthode qui lui avait permis de les trouver en 1756).

En fait, ce principe postule que, par exemple, la table sur laquelle est posé un objet est passive (n'oppose que des forces de réaction au corps) et ne va pas lui fournir une quelconque accélération ni énergie.

Formulation mathématique[modifier | modifier le code]

On suppose que le système est caractérisé par un ensemble fini P de points matériels soumis à des contraintes (rigidités, limites du domaine d'évolution, articulations mécaniques, etc.), mais sans frottement.

Définition d'un déplacement virtuel \delta \vec r du système : c'est un déplacement instantané et infinitésimal des points de P, et respectant les contraintes physiques.

Les forces de contraintes sont les forces s'appliquant au corps, faisant qu'il respecte les contraintes physiques (force de réaction de la table sur laquelle est posé le corps, résistance de la rigidité aux forces extérieures,...).

Le principe de D'Alembert dit que l'ensemble des forces de contraintes appliquées à un système ne travaille pas (ne produit ni ne consomme d'énergie) lors d'un déplacement virtuel :

Si les forces de contraintes sont \vec R_i pour chaque i \in P, alors pour tout déplacement virtuel \left( \delta \vec r_i \right)_{i \in P} du corps, on a :
\sum_{i \in P} \vec R_i \cdot \delta \vec r_i = 0 (équation de D'Alembert),
avec  \ \vec a_i l'accélération et \vec F_i la somme des forces (qui ne sont pas de contrainte) s'exerçant en \ i \in P, et en utilisant le principe fondamental de la dynamique qui s'écrit \textstyle m_i . \vec a_i = \vec F_i + \vec R_i , on obtient
\sum_{i \in P} \left( \vec F_i - m_i \vec a_i \right) \cdot \delta \vec r_i = 0

Démontrer les équations de Lagrange[modifier | modifier le code]

En coordonnées cartésiennes, et dans un référentiel inertiel, l'équation de D’Alembert et le principe fondamental de la dynamique donnent \sum_{i \in P} \left( \vec F_i - m_i\vec a_i \right) \cdot \delta \vec r_i = 0 ; avec n coordonnées généralisées on obtient \sum_{j=1}^n \left( Q_j - A_j \right) \cdot \delta q_j = 0, où \ \left(  Q_j \right)_{j=1,..,n} et \ \left( A_j \right)_{j=1,..,n} sont, respectivement, les force et accélération généralisées.

Si les coordonnées généralisées sont indépendantes, alors on peut en déduire \ A_j = Q_j, pour tout \ j=1, ..., n.

L'énergie cinétique totale du système s'écrit \ T = {1 \over 2}\sum_{i \in P} m_i \left( \dot \vec r_i \right)^2 .
Quelques calculs[1] montrent que \ A_j = { d \over dt} \frac{ \partial T}{\partial \dot q_j} - \frac{\partial T}{\partial q_j}. On arrive alors à l'égalité \ { d \over dt} \frac{ \partial T}{\partial \dot q_j} - \frac{\partial T}{\partial q_j} = Q_j.
D'où, si la force est conservative (c'est-à-dire \ Q_j = - \frac{\partial U}{\partial q_j} et \ \frac{\partial U}{\partial \dot q_j} = 0) ou bien si \ Q_j = { d \over dt} \frac{ \partial U}{\partial \dot q_j} - \frac{\partial U}{\partial q_j} (comme dans le cas de la force électromagnétique), en posant \ L=T-U on conclut :
\ { d \over dt} \frac{ \partial L}{\partial \dot q_j} - \frac{\partial L}{\partial q_j} = 0, ce qui est les équations de Lagrange.

Si les coordonnées généralisées ne sont pas indépendantes, et s'il n'y a qu'une contrainte, alors on peut en déduire[2] que \ A_j - Q_j= \lambda . Z_j, pour tout \ j=1, ..., n, et où \ ( Z_j )_{j=1,...,n} est un vecteur proportionnel au vecteur de la force généralisée de la contrainte (et qui est assez facilement calculable pour une contrainte holonome), avec \ \lambda = \lambda (q, \dot q,t) le coefficient de proportionnalité associé (multiplicateur de Lagrange). Chaque contrainte ajoute un terme similaire supplémentaire. On obtient alors :

\ { d \over dt} \frac{ \partial L}{\partial \dot q_j} - \frac{\partial L}{\partial q_j} = \lambda . Z_j, ce qui est les équations de Lagrange, avec multiplicateur de Lagrange.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Ces calculs utilisent les égalités \ \frac{\partial \dot \vec r_i}{\partial \dot q_j} = \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j} et \ { d \over dt} \frac{ \partial \vec r_i}{\partial q_j} = \frac{\partial \dot \vec r_i}{\partial q_j}, où \ \vec r_i = \vec r_i (q_1,q_2,...,q_n,t)
  2. par un raisonnement sur les degrés de liberté du système dans l'espace à n dimensions considéré : voir Chapitre I, Complément 1.2, p34-35 de Mécanique : de la formulation lagrangienne au chaos hamiltonien, par Claude Gignoux et Bernard Silvestre-Brac ; éditeur EDP-Sciences, 2002, 467 pages ISBN 2868835848.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Claude Gignoux et Bernard Silvestre-Brac ; Mécanique : de la formulation lagrangienne au chaos hamiltonien, éditeur EDP-Sciences, 2002, ISBN 2-86883-584-8.