Principe d'explosion

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Le principe d'explosion, énoncé en latin ex falso quodlibet ou encore ex contradictione sequitur quodlibet, « d'une contradiction, on peut déduire ce qu'on veut » ou le principe de Pseudo-Scotus, est une loi de logique classique, logique intuitionniste et d'autres logiques, selon laquelle n'importe quel énoncé peut être déduit à partir d'une contradiction[1]. Certaines autres logiques comme les logiques non-monotones, qui tentent de gérer des cas particuliers, ou les logiques paracohérentes ne possèdent pas de principes d'explosion et tentent de gérer les contradictions différemment.

À titre anecdotique, le logicien Bertrand Russell a par exemple, suite à une question piège posée par un de ses étudiants : « à partir de 2+2=5, montrer que vous êtes le Pape ? », produit une démonstration rhétorique, en sortant du cadre de la logique formelle.

Illustration du principe[modifier | modifier le code]

Dans le cadre d'un raisonnement formel, nous allons déduire à partir d'affirmations quelconques mais contradictoires comme il fait beau ou il ne fait pas beau, n'importe quelle autre affirmation. Ces affirmations peuvent être, dans des conditions données, soit vraies, soit fausses. Certaines règles de déductions couramment admises permettent en logique de déduire d'autres affirmations à partir d'affirmations antérieurement admises. On dit que les règles sont valides si on est sûr que l'application de ces règles à partir d'affirmations vraies donne également des affirmations vraies.

Une illustration et justification informelle du principe peut s'énoncer comme suit.

Prenons deux affirmations contradictoires, qui nous serviront de point de départ:

  • Tous les citrons sont jaunes et
  • certains citrons ne sont pas jaunes.

À partir de ces deux affirmations, supposées toutes deux vraies, nous allons montrer que Le Père Noël existe, de la manière suivante :

  1. Nous savons que tous les citrons sont jaunes, par hypothèse.
  2. Nous déduisons (2) Tous les citrons sont jaunes ou alors le père Noël existe. Sa première partie étant vraie, nous n'avons pas besoin de vérifier la seconde partie, introduire une alternative dans la phrase ne fait qu'affaiblir les conditions dans lesquelles elle est vérifiée.
  3. Cependant, si certains citrons ne sont pas jaunes, ce qui est aussi vrai par hypothèse, cela invalide la première partie de la déduction (2).
    Nous l'avons déduite à partir d'une règle de déduction valide, elle donc montrée vraie dans notre raisonnement. Sa première alternative étant contradictoire avec notre seconde hypothèse, la seconde alternative, soit le père Noël existe, doit donc nécessairement être vraie pour que l'affirmation soit vérifiée.

Nous avons donc démontré que le père Noël existe, et nous pourrions démontrer n'importe quelle affirmation de manière similaire, y compris le père Noël n'existe pas, ceci en supposant initialement deux propositions contradictoires. D'où cette présente règle : du faux on peut déduire n'importe quoi.

Représentation symbolique[modifier | modifier le code]

Le principe d'explosion, de manière un peu plus formelle, peut dénoncer ("\vdash" représente la relation de déduction logique):

\{ \phi , \lnot \phi \} \vdash \psi
ou
\bot \to P.

ce qui peut se lire si on énonce qu'une affirmation est à la fois vraie (\phi\,) et que sa négation (\lnot \phi) l'est aussi, on peut dériver n'importe quelle conclusion (\psi).

Discussion sur ce principe[modifier | modifier le code]

Un argument informel et descriptif est donné en introduction. Dans des termes plus formels, il y a deux sortes d'arguments en faveur du principe d'explosion, l'une sémantique, l'autre en théorie de la démonstration.

En sémantique[modifier | modifier le code]

L'argument sémantique est tiré de la théorie des modèles. En théorie des modèles, on dit qu'une structure d'interprétation est modèle d'une théorie si la théorie est vraie dans l'ensemble de base de cette structure. Une proposition \psi est dans ce cadre une conséquence sémantique d'un ensemble d'autres propositions \Gamma seulement si chacun des modèles de \Gamma est modèle de \psi. Pour parler du principe d'explosion, on remarquera qu'il n'existe pas de modèle, c'est-à-dire de structure, de l'ensemble contradictoire \{\phi , \lnot \phi \}. A fortiori, il n'existe pas de modèle de \{\phi , \lnot \phi \} qui soit modèle de \psi. Par conséquent, non rigoureusement, chaque modèle de \{\phi , \lnot \phi \} est un modèle de \psi. \psi est donc une conséquence sémantique de \{\phi , \lnot \phi \}.

En théorie de la démonstration[modifier | modifier le code]

En théorie de la démonstration, le principe peut s'illustrer par la démonstration suivante où le nom des règles utilisées sont données dans déduction naturelle et style de Fitch pour la déduction naturelle :

Prenons d'abord la version symbolique de l'argument de l'introduction

(1) \phi \wedge \neg \phi\, 
hypothèse
(2) \phi\, 
à partir de (1) par la règle de élimination de la conjonction
(3) \neg \phi\, 
de (1) par l'élimination de la conjonction
(4) \phi \vee \psi\, 
de (2) par la règle d'introduction de la disjonction
(5) \psi\,
de (3) et (4) par la règle de coupure
(6) (\phi \wedge \neg \phi) \to \psi 
de (5) par introduction de l'implication (en) (éliminant l'hypothèse (1) )

\phi est dans notre introduction illustrée par "tous les citrons sont jaunes" et \psi est "Le Père Noël existe". De la contradiction "tous les citrons sont jaunes et certains citrons ne sont pas jaunes" (1), on déduit d'abord "tous les citrons sont jaunes" (2) puis "certains citrons ne sont pas jaunes" (3) ; de "tous les citrons sont jaunes" (2), nous déduisons "tous les citrons sont jaunes ou la cloche de Pâques est volante" (4) ; enfin par "certains citrons ne sont pas jaunes (3) et de la conséquence précédente (4), nous déduisons "La cloche de Pâques est volante" (5). Enfin nous déduisons en (6) que si tous les citrons sont jaunes et si certains ne sont pas jaunes, alors la cloche de Pâques est volante.

D'autres démonstrations sont possibles

  1. \phi \wedge \neg\phi : par hypothèse
  2. \phi : de (1) par élimination de la conjonction
  3. \neg \phi\, : de (1) par élimination de la conjonction
  4. \neg \psi\, : autre hypothèse
  5. \phi\, : réitération de (2)
  6. \neg \psi \to \phi :de (4) to (5) par le théorème de la déduction
  7. ( \neg \phi \to \neg \neg \psi) :de (6) par contraposition
  8. \neg \neg \psi : de (3) and (7) par modus ponens
  9. \psi\, : de (8) par l'élimination de la double négation
  10. (\phi \wedge \neg \phi) \to \psi : de (1) et (9) par le théorème de la déduction

Ou encore:

  1. \phi \wedge \neg \phi\,
    hypothèse
  2. \neg \psi\,
    hypothèse
  3. \phi\,
    de (1) par élimination de la conjonction
  4. \neg \phi\,
    de (1) par élimination de la conjonction
  5. \neg \neg \psi\,
    de (3) and (4) par reductio ad absurdum (consommant l'hypothèse 2)
  6. \psi\,
    de (5) par élimination de la double négation
  7. (\phi \wedge \neg \phi) \to \psi
    de (6) par introduction de l'implication (en consommant (1))

Résoudre les problèmes posés par le principe d'explosion[modifier | modifier le code]

Les logiques paracohérentes (en) ont été créées pour permettre certaines formes de négations faibles. Les logiciens envisageant la logique sous l'angle de la sémantique formelle pensent, pour la majorité d'entre eux, qu'il existe des modèles pour l'ensemble de formule contradictoire \{\phi , \lnot \phi \} et discutent de sémantiques permettant leur existence. D'une autre manière ils peuvent aussi rejeter l'idée que les proposition puissent être classées entre propositions vraies et propositions fausses. La sémantique des preuves en logique paracohérente nie typiquement la validité du principe, en empêchant l'une des étapes nécessaires à son obtention, typiquement le syllogisme disjonctif, l'introduction de la disjonction ou encore la démonstration par l'absurde.

Dans le cas du Web sémantique, à l’intérieur duquel il est presque impossible qu'il n’existe pas différentes sources contradictoires d'informations tant les fournisseurs sont nombreux et pas forcément d'accord entre eux, il a été proposé des logiques dans lesquelles coexistent deux type de négations, et dans lesquels la non contradiction n’est requise qu'explicitement[2].

Applications[modifier | modifier le code]

L'importance métamathématique du principe d'explosion est telle que n'importe quelle logique dans laquelle il est vérifié, une démonstration de \bot (soit le faux, ou une forme équivalente, comme \phi \land \lnot \phi) ferait de toutes ses formules des théorèmes, rendant le système inutile. Le principe d'explosion est une des raisons de l'existence du principe de contradiction en logique classique, ne pas l'incorporer rendrait insensé toute affirmation vraie.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Explosion principle » (voir la liste des auteurs)

  1. (en) Carnielli, W. and Marcos, J., « "Ex contradictione non sequitur quodlibet" », Proc. 2nd Conf. on Reasoning and Logic, Bucharest,‎ juillet 2001 (lire en ligne)
  2. (en) Anastasia Analyti, Grigoris Antoniou, Carlos Viegas Dam ́asio, Gerd Wagner, « Negation and Negative Information in the W3C Resource Description Framework », Annals of Mathematics, Computing & Teleinformatics (AMCT),‎ 2004 (lire en ligne)