Première forme fondamentale

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La première forme fondamentale en un point P d'une surface Σ est, dans une première approche, une écriture formelle du produit scalaire euclidien usuel en restriction au plan tangent TPΣ.

On note la première forme fondamentale par la lettre romaine I.

Considérons Σ une surface paramétrée par la fonction X(u,v). En un point donné, les vecteurs tangents sont notés Xu et Xv ; le plan tangent est généré par cette base (Xu, Xv), et tout vecteur tangent en ce point peut donc s'écrire comme une combinaison linéaire de ces deux vecteurs.

Alors le produit scalaire de deux vecteurs tangents s'écrit :

\mathrm{I} (a \mathrm{X}_u + b \mathrm{X}_v, c \mathrm{X}_u + d \mathrm{X}_v) = ac \langle \mathrm{X}_u, \mathrm{X}_u \rangle + (ad + bc)\langle \mathrm{X}_u, \mathrm{X}_v \rangle + bd \langle \mathrm{X}_v, \mathrm{X}_v \rangle.

Les valeurs

\mathrm{E} = \langle \mathrm{X}_u, \mathrm{X}_u \rangle,\, \mathrm{F} = \langle \mathrm{X}_u, \mathrm{X}_v \rangle,\, \mathrm{G} = \langle \mathrm{X}_v, \mathrm{X}_v \rangle

sont appelées coefficients de la première forme fondamentale.

On peut écrire ceci sous la forme d'un tenseur :

(g_{ij}) = \begin{pmatrix}
 g_{11} & g_{12} \\
 g_{21} & g_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
 \mathrm{E} & \mathrm{F} \\
 \mathrm{F} & \mathrm{G} \end{pmatrix}

avec gij = Xi⋅Xj, et l'on a alors

\mathrm{I}(x, y) = x^\mathrm{T}\begin{pmatrix} \mathrm{E} & \mathrm{F} \\ \mathrm{F} & \mathrm{G} \end{pmatrix} y.

Calcul des longueurs et des aires[modifier | modifier le code]

Considérons un élément de ligne ds, défini comme une petite variation de du et dv. Le carré de la longueur de cet arc peut se déterminer par :

ds2 = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2.

Considérons un élément de surface dA, défini comme une petite variation de du et dv. L'aire de cet élément de surface peut s'écrire, en utilisant l'identité de Lagrange :

\mathrm{dA} = | \mathrm{X}_u \wedge \mathrm{X}_v | \mathrm{d}u \mathrm{d}v = \sqrt{\langle \mathrm{X}_u, \mathrm{X}_u \rangle \langle \mathrm{X}_v, \mathrm{X}_v \rangle - \langle \mathrm{X}_u, \mathrm{X}_v \rangle^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v = \sqrt{\mathrm{E\mathrm{G} - \mathrm{F}^2}}\mathrm{d}u\mathrm{d}v

Exemple de la sphère[modifier | modifier le code]

Une sphère peut être paramétrée par :

\mathrm{X}(u, v) = \begin{pmatrix}
\cos u \sin v \\ \sin u \sin v \\ \cos v
\end{pmatrix}

ce qui donne, par différentiation :

\mathrm{X}_u = \begin{pmatrix}
-\sin u \sin v \\ \cos u \sin v \\ 0
\end{pmatrix}, \mathrm{X}_v = \begin{pmatrix}
\cos u \cos v \\ \sin u \cos v \\ -\sin v
\end{pmatrix}

et donc

E = sin2 v
F = 0
G = 1

Voir aussi[modifier | modifier le code]