Pré-ordre

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Un pré-ordre (ou préordre[1]) est une relation binaire réflexive et transitive.

C'est-à-dire, si E est un ensemble, alors {\mathcal R}\subseteq E\times E est un pré-ordre lorsque :

  • \forall x \in E\quad (x,x)\in{\mathcal R} (réflexivité) ;
  • \forall (x, y, z) \in E^3 \quad \left[(x,y)\in {\mathcal R} \and (y,z)\in {\mathcal R} \Rightarrow(x,z)\in{\mathcal R}\right] (transitivité).

Exemples[modifier | modifier le code]

Compléments[modifier | modifier le code]

Si E et F sont des ensembles pré-ordonnés par des relations de pré-ordre qu'on notera toutes deux ≤, une application f de E dans F est dite[2] croissante si, pour toute paire d'éléments (x,y) de E tels que x ≤ y, on a aussi f(x) ≤ f(y).

Dans un ensemble E pré-ordonné par une relation de pré-ordre ≤, la relation « x ≤ y et y ≤ x » est une relation d'équivalence. Pour deux éléments X et Y de l'ensemble quotient, les deux conditions suivantes reviennent au même :

  • pour tout élément x de X et tout élément y de Y, x ≤ y ;
  • il existe un élément x de X et un élément y de Y tels que x ≤ y.

Ces conditions équivalentes constituent une relation d'ordre dans l'ensemble quotient de E par la relation d'équivalence « x ≤ y et y ≤ x »[3].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. N. Bourbaki, Éléments de mathématique : Théorie des ensembles [détail des éditions], ch. III, § 1, nº 2, (Paris, Masson, 1998, p. 2 et 5) écrit « préordre » et « préordonné ».
  2. Bourbaki 1998, ch. III, § 1, nº 5, p. 7.
  3. Bourbaki 1998, ch. III, § 1, nº 2, p. 3.