Polynôme séquentiel

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Un polynôme séquentiel (ou polynôme de Littlewood)[1] est un polynôme dont les coefficients appartiennent tous à {-1, 1}.

Un tel polynôme peut donc se mettre sous la forme :

P(X) = \sum_{i=0}^{l-1} a_iX^i

où la suite des a_i s'écrit :

a=(a_0,...,a_{l-1})

et est appelée « séquence ».

On dit que deux séquences a et b sont complémentaires lorsque :

\forall j \in [1,l-1], \sum_{i=0}^{l-1-j} a_i a_{i+j} + b_i b_{i+j} = 0

On appelle \mathcal{L} l'ensemble des longueurs l pour lesquelles il existe des séquences complémentaires. Cet ensemble fait encore l'objet de recherches.

On peut lire dans le sujet du concours X-ESPCI de Polytechnique et de l'ESPCI, filière PC, de 2006 :

Ces polynômes ont été introduits lors de recherches sur la spectroscopie

multi-fentes. Ils ont donné lieu à des développements mathématiques en combinatoire, théorie des codes, analyse harmonique, et à de très nombreuses applications en optique, télécommunications, théorie des radars et acoustique.

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. (en) Peter Borwein, Computational Excursions in Analysis and Number Theory, New York, Springer,‎ 2002 (ISBN 978-0-387-95444-8, lien LCCN?, lire en ligne), p. 1-58, les appelle « polynômes de Littlewood ».

Articles connexes[modifier | modifier le code]