Polynôme minimal (théorie des corps)

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En théorie des corps, le polynôme minimal sur un corps commutatif K d'un élément algébrique d'une extension de K, est le polynôme unitaire de degré minimal parmi les polynômes à coefficients dans le corps de base K qui annulent l'élément. Il divise tous ces polynômes. C'est toujours un polynôme irréductible. Dans le cas d'une extension du corps des rationnels (en particulier d'un corps de nombres), on parle de nombre algébrique et donc de polynôme minimal d'un nombre algébrique.

C'est une notion élémentaire utile aussi bien en théorie classique de Galois qu'en théorie algébrique des nombres. Ainsi dans une extension du corps K où le polynôme minimal de a est polynôme scindé, les éléments conjugués de a sont toutes les racines de son polynôme minimal, et les automorphismes de corps d'une telle extension (qui forment le groupe de Galois de celle-ci) laissant stable K associent nécessairement à a un de ses éléments conjugués.

Une extension de K est aussi une algèbre associative sur K, et il est possible de définir plus généralement le polynôme minimal dans ce cadre, qui recouvre aussi l'algèbre linéaire et les endomorphismes d'un espace vectoriel sur K. Le polynôme minimal d'un élément algébrique a sur K est d'ailleurs également, du point de vue de l'algèbre linéaire, le polynôme minimal de l'endomorphisme xax de l'extension vu comme K-espace vectoriel. D'autres outils de la théorie des corps, comme la trace, la norme, le polynôme caractéristique d'un élément algébrique, peuvent se définir à partir de cet endomorphisme et entretiennent les mêmes liens avec le polynôme minimal que leurs correspondants en algèbre linéaire.

Définitions[modifier | modifier le code]

Ici K désigne un corps et L une extension de K, c'est-à-dire un corps contenant K.

Un élément a algébrique de L sur K est un élément de L racine d'un polynôme à coefficients dans K. Étant donnés deux polynômes qui ont a pour racine, le reste par la division euclidienne de l'un par l'autre a encore a pour racine. Par conséquent les polynômes de degré minimal qui ont pour racine a sont proportionnels, et un tel polynôme divise tous les polynôme qui annulent a.

Un tel polynôme est également irréductible, car si le produit de deux polynômes (à coefficients dans un corps) s'annule sur a, l'un des deux s'annule (un corps est en particulier intègre). On a unicité en choisissant ce polynôme unitaire, c'est-à-dire que le coefficient du terme de plus haut degré égal à 1.

On peut donc définir le polynôme minimal de a, élément algébrique de L sur K[1] :

  • le polynôme minimal de a sur K est le polynôme unitaire de plus bas degré à coefficients dans K admettant a pour racine ;
  • le polynôme minimal de a sur K est aussi l'unique polynôme unitaire irréductible à coefficients dans K qui admet a pour racine ;
  • le polynôme minimal de a sur K est également l'unique polynôme unitaire à coefficients dans K qui admet a pour racine, et qui divise tous les polynômes qui ont pour racine a.

Dit autrement, l'anneau K[X] des polynômes sur K est anneau euclidien donc principal. L'idéal des polynômes qui ont pour racine a est principal et donc[1] :

  • le polynôme minimal de a sur K est l'unique polynôme unitaire qui engendre l'idéal des polynômes de K[X] qui annulent a.

Comme a est algébrique, K(a), le plus petit sous-corps de L contenant K et a, est l'anneau K[a], et il est isomorphe au corps de rupture K[X]/(P) du polynôme minimal P de a, c'est-à-dire que la structure de K(a) est déterminée par le polynôme minimal de a. Le degré de a, qui est le degré de l'extension K(a) de K, est également le degré du polynôme minimal de a.

Exemples[modifier | modifier le code]

Les lettres ℂ, ℝ et ℚ désignent respectivement les corps des complexes, réels et rationnels.

  • Tout élément k du sous-corps K est algébrique sur K, de polynôme minimal X – k.
  • Tout nombre complexe non réel a + ib (avec a et b réels et b non nul) est algébrique sur ℝ, de polynôme minimal X2 – 2a X + a2 + b2.
  • L'unité imaginaire i a même polynôme minimal sur ℝ et ℚ, à savoir X2 + 1.
  • La Racine carrée de deux, 2, est un nombre algébrique de polynôme minimal X2 – 2 sur ℚ (différent de son polynôme minimal sur ℝ qui est X2).
  • Le nombre algébrique 2 + 3 a pour polynôme minimal (sur ℚ) X4 − 10X2 + 1 = (X - 2 - 3)(X - 2 + 3)(X + 2 + 3)(X + 2 - 3) (la minimalité découle de ce que le produit de deux de ses facteurs n'est pas dans ℚ[X], les racines du polynôme étant opposées 2 par 2).
  • Les nombres transcendants (non-algébriques), comme π (théorème de Lindemann) n'ont donc pas de polynôme minimal sur ℚ.
  • Si le polynôme P est irréductible sur K, il est le polynôme minimal de l'élément de son corps de rupture K[X]/(P) qui est la classe de X modulo P.
  • Par exemple, 𝔽2 étant le corps fini à 2 éléments, le polynôme X2 + X + 1 de 𝔽2[X] est irréductible, en notant 𝔽4 son corps de rupture (le corps fini à 4 éléments) et j la classe de X modulo ce polynôme, alors X2 + X + 1 est le polynôme minimal de j, et également de j+1.

Contexte[modifier | modifier le code]

Motivation[modifier | modifier le code]

Article détaillé : théorie de Galois.
Évariste Galois est à l'origine d'une théorie mettant en évidence les conséquences des propriétés des polynômes minimaux.

En 1801, Carl Friedrich Gauss étudie le polynôme minimal à coefficients rationnels d'une racine nième de l'unité dans le corps des complexes[2] et lui donne le nom de polynôme cyclotomique. Cette approche est fructueuse, l'étude de son degré ainsi que des opérations réalisables sur les racines mettent en évidence des propriétés de ces racines. Il en conclut par exemple que l'heptadécagone, c'est-à-dire le polygone régulier à 17 côtés est constructible à la règle et au compas.

Cette approche est généralisée par Évariste Galois[3]. Il étudie systématiquement les extensions K contenant toutes les racines d'un polynôme irréductible à coefficients rationnels. Un tel polynôme est le polynôme minimal de chacune des racines.

En termes contemporains, une telle démarche permet de disposer de résultats provenant de quatre[pas clair] structures algébriques différentes. Le corps K peut être vu comme un espace vectoriel, si k est un élément du corps, l'application de K dans K, qui à x associe kx est un endomorphisme de K, vu comme un ℚ-espace vectoriel, son polynôme minimal au sens des endomorphismes correspond au polynôme minimal de l'entier algébrique k, l'algèbre linéaire est disponible avec une telle approche. Il est relativement facile de constater que tout automorphisme de K permute les racines du polynôme ; ils forment donc un groupe fini isomorphe à un sous-groupe des permutations des racines. Un tel groupe porte le nom de groupe de Galois et la théorie des groupes offre des théorèmes pour mieux comprendre une telle structure. Enfin, l'anneau des polynômes à coefficients dans ℚ dispose de propriétés fortes, il est par exemple euclidien. Cette richesse permet à Galois d'offrir une nouvelle formulation du théorème d'Abel, donnant une condition nécessaire et suffisante pour qu'un polynôme soit résoluble par radicaux.

Le polynôme minimal est à l'origine de la définition de K, il dispose de nombreuses propriétés provenant de l'algèbre linéaire, des propriétés du corps K ou encore du groupe de Galois.

Théorie algébrique des nombres[modifier | modifier le code]

Leonhard Euler est un précurseur. Il comprend l'intérêt de nombres ayant un polynôme minimal à coefficients entiers. Une maitrise insuffisante des structures maintenant appelées anneau le conduit néanmoins à faire une erreur dans sa démonstration.

L'intérêt pour le polynôme minimal possède aussi une autre origine. La résolution de certaines équations diophantiennes comme celle des deux carrés est simplifiée si un nouvel anneau est utilisé. Gauss découvre à cette occasion[4] les entiers portant maintenant son nom. Ils correspondent aux complexes de la forme α + βi, où α et β sont des entiers. Si p est un nombre premier congru à 1 modulo 4, alors il existe un morphisme de l'anneau des entiers de Gauss, vers ℤ/pℤ. Le noyau de ce morphisme est un idéal principal de générateur un nombre α + βi tel que α2 + β2 est égal à p, ce qui permet de résoudre l'équation.

Une démarche de cette nature possède un célèbre antécédent, Leonhard Euler utilise les nombres de la forme α + βi3 pour tenter de démontrer le dernier théorème de Fermat pour n = 3. Il annonce[5] à Goldbach en 1753 qu'il a enfin trouvé une solution. Elle se révèle fausse[6], il suppose implicitement que l'anneau considéré est euclidien. Ce n'est pourtant pas le cas, comme le montre l'égalité suivante :

2.2=(1+\mathrm i\sqrt 3)(1-\mathrm i\sqrt 3).~

Les trois nombres utilisés n'ont pas de diviseurs autres que 1 ou le nombre lui-même (à un nombre inversible près). Gotthold Eisenstein finit par trouver le bon anneau d'entiers équivalent, il est formé des nombres de la forme α + βjj désigne une racine cubique primitive de l'unité.

La « bonne définition » d'un entier algébrique d'une extension finie de ℚ est celle des nombres dont les coefficients du polynôme minimal sont des entiers naturels. Cet ensemble forme un anneau. Si dans le cas général, il n'est pas euclidien, il possède néanmoins suffisamment de propriétés pour permettre de bâtir une théorie. L'anneau est dit de Dedekind. Si l'anneau n'est en général ni euclidien ni factoriel, le passage à la notion d'idéal fractionnaire montre que tout idéal est le produit, d'une manière unique, d'idéaux premiers. Cette propriété est fondatrice de la théorie algébrique classique des nombres, elle remplace la décomposition en facteurs premiers perdue dans le cas général.

Le polynôme minimal est ainsi l'outil de définition d'un entier algébrique. Ses propriétés, dérivées de l'arithmétique, l'algèbre linéaire et la théorie de Galois, sont utilisées pour établir les théorèmes clé de la théorie comme celui de Dirichlet ou celui sur le groupe des classes d'idéaux.

Théorie des corps[modifier | modifier le code]

Propriétés élémentaires[modifier | modifier le code]

Article détaillé : extension algébrique.

Ici K est un corps, L une extension de K et m un élément de L.

Dans l'article « Corps de rupture », en utilisant que l'anneau K[X] est euclidien donc principal, on démontre :

  • Soit P un polynôme irréductible et unitaire de K[X], alors il existe une extension de K, de degré égal au degré de P, contenant un élément dont P est le polynôme minimal.

Les propriétés suivantes sont démontrées dans l'article détaillé.

  • Si m est algébrique sur K et si son polynôme minimal est de degré n, alors toute extension contenant m est de degré infini ou multiple de n et la plus petite est de degré n.
    Cette propriété permet par exemple de démontrer que la trisection de l'angle ou la duplication du cube est en général impossible à la règle est au compas (cf. l'article « Tour d'extensions quadratiques »).
  • Si m est algébrique sur une extension finie de K, alors m est algébrique sur K.
  • Si m1 et m2 sont algébriques sur K, alors m1 m2 et m1 + m2 le sont aussi, et m1–1 l'est aussi si m1 est non nul.

Extension séparable[modifier | modifier le code]

Article détaillé : extension séparable.

Un élément algébrique sur K est dit séparable (sur K) si toutes les racines de son polynôme minimal sur K, dans une extension où ce polynôme est scindé, sont simples.

Une extension algébrique de K est dite séparable si tous ses éléments le sont. C'est toujours le cas si K est parfait, par exemple si K est fini ou de caractéristique nulle.

Les extensions séparables possèdent des propriétés importantes, comme le théorème de l'élément primitif :

  • Toute extension finie séparable est simple,

c'est-à-dire qu'elle contient un élément qui engendre l'extension, ou encore, dont le polynôme minimal est de degré égal au degré de l'extension.

Outils issus de l'algèbre linéaire[modifier | modifier le code]

Dans tout ce paragraphe, on suppose que L est une extension finie de K et pour tout élément m de L, on note φm l'endomorphisme du K-espace vectoriel L qui à x associe mx, χm le polynôme caractéristique de φm et Pm le polynôme minimal de φm, qui est aussi celui de m.

Théorème de Cayley-Hamilton[modifier | modifier le code]

Soit ψm la restriction de φm à K[m], le corps de rupture de Pm. Si d est le degré de Pm, le K-espace vectoriel K[m] a pour base (1, m, m2, … , md – 1), et la matrice MK[m] de ψm dans cette base est la matrice compagnon de Pm, dont le polynôme caractéristique est égal à Pm.

Soit d'autre part (l1, … , ln) une base du K[m]-espace vectoriel L. Alors, la famille des milj, pour i variant de 0 à d – 1 et j de 1 à n, forme une base du K-espace vectoriel L, dans laquelle la matrice ML de φm s'écrit par blocs :

 M_L=
\begin{pmatrix} 
    M_{K[m]} & 0                & \cdots & 0                \\
    0                & M_{K[m]} & \ddots & \vdots           \\
    \vdots           & \ddots           & \ddots & 0                \\
    0                & \cdots           &   0    & M_{K[m]} \\
\end{pmatrix}

Cette observation fournit une preuve, dans un cas très particulier, du théorème de Cayley-Hamilton (le polynôme caractéristique χm est bien un multiple du polynôme minimal Pm puisqu'il en est même ici une puissance) :

  • Si L est de degré n sur K[m], alors :
\chi_m(X)=\Big(P_m(X)\Big)^n.

Norme[modifier | modifier le code]

Article détaillé : norme (arithmétique).

L'algèbre linéaire fournit des outils supplémentaires à la théorie des corps et à la théorie algébrique des nombres. La norme est un exemple.

La norme, relative à l'extension, de m, est le déterminant de l'endomorphisme φm. Elle est en général notée NL/K(m). Par définition, c'est un élément de K, égal au produit des racines de χm (comptées avec leurs multiplicités, et dans une extension où χm est scindé).

À la différence de la norme relative, la norme est indépendante de l'extension et ne dépend que du corps de base K. On peut la définir par :

\mathcal N(m)=\mathcal N_{K[m]/K}(m).

D'après la section « Théorème de Cayley-Hamilton » ci-dessus :

  • La norme d'un élément est le produit des racines de son polynôme minimal.
  • Si L est de degré n sur K[m], la norme relative de m est égale à sa norme à la puissance n.

Forme trace[modifier | modifier le code]

Article détaillé : forme trace.

La trace est une application un peu de même nature que la précédente. La trace, relative à l'extension, de l'élément m, est la trace de l'endomorphisme φm. C'est donc un élément de K, opposé au coefficient sous-dominant de χm qui, dans le cas particulier L = K[m], n'est autre que le polynôme minimal de m. L'application qui à deux éléments a et b de L associe la trace de ab est appelée forme trace. Elle joue un rôle important en théorie algébrique des nombres, par exemple pour définir le discriminant.

Analogue du polynôme minimal pour les variétés algébriques sur les anneaux factoriels[modifier | modifier le code]

Supposons que R est un anneau factoriel dont le corps des fractions est K, et que X1, X2, ..., Xn sont n variables indépendantes.

Si x1, x2, ..., xn sont n éléments tels que le degré de transcendance de l'extension K(x1, x2, ..., xn) est égal à n-1, alors l'idéal des polynômes P de R[X1, X2, ..., Xn] s'annulants en (x1, x2, ..., xn) est principal[7].

Pratiquement, ce théorème se traduit de la façon suivante : si x1, x2, ..., xn-1 sont algébriquement indépendants, et si xn est tel qu'il existe un polynôme Q à coefficients dans R vérifiant Q( x1, ..., xn-1, xn) = 0, alors il existe un certain polynôme P à coefficients dans R, unique à la multiplication près par une unité de R, s'annulant en (x1, x2, ..., xn), et tel que tout autre polynôme à coefficients dans R s'annulant en ce point est divisible par P dans R[X].

Dans le cas ou n=1, le degré de transcendance de x1 est 0 et on obtient la proposition suivante[8] :

Si x est un élément algébrique sur K, alors, à la multiplication près par une unité de R, il existe un unique polynôme P à coefficients dans R tel que tout polynôme de R[X] s'annulant en x est divisible par P dans R[X].

On voit d'ailleurs que ce polynôme ne peut être que le polynôme minimal Q de x sur K, multiplié par le plus petit commun multiple des dénominateurs des coefficients de Q, de façon à le rendre primitif.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. a et b Par exemple Chambert-Loir 2005, p. 11.
  2. Gauss 1801, section V, art. 336-366
  3. Manuscrit de Galois dans le Journal de Crelle, 1846
  4. Gauss 1801, article 182
  5. (en) H. M. Edwards, Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory, Springer, 3e éd., 2000 (ISBN 978-0-387-95002-0)
  6. L. Euler, Algèbre, 1770
  7. Serge Lang, Algebra (3e édition), théorème 2.4 p. 384.
  8. Cette proposition peut se démontrer directement en utilisant le lemme de Gauss, et implique en dernier ressort le premier théorème

Références[modifier | modifier le code]

Galois

Arithmétique

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Galois

Arithmétique