Polynôme de Bernstein

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Les polynômes de Bernstein, nommés ainsi en l'honneur du mathématicien ukrainien Sergeï Bernstein, permettent de donner une démonstration constructive et probabiliste[1] du théorème d'approximation de Weierstrass. Ils sont également utilisés dans la formulation générale des courbes de Bézier.

Description[modifier | modifier le code]

Pour un degré m, il y a m+1 polynômes de Bernstein B^m_0,\dots,B^m_m définis, sur l'intervalle [0,1], par

B_i^m(u) = \begin{pmatrix} m \\ i \end{pmatrix} u^i \left( 1-u \right)^{m-i},

où les \begin{pmatrix} m \\ i \end{pmatrix} sont les coefficients binomiaux.

Ces polynômes présentent quatre propriétés importantes :

  1. Partition de l'unité : \qquad \sum_{i=0}^m B_i^m(u) = 1, \qquad \forall u \in [0,1] ;
  2. Positivité : B_i^m(u) \geq 0, \qquad \forall u \in [0,1], \forall i \in 0 \dots m ;
  3. Symétrie : B_i^m(u) = B_{m-i}^m(1-u), \qquad \forall u \in [0,1], \forall i \in 0 \dots m ;
  4. Formule de récurrence : 
B_i^m(u) =
\begin{cases}
(1-u)B_i^{m-1}(u),& i = 0\\
(1-u)B_i^{m-1}(u) + u B_{i-1}^{m-1}(u),&\forall i \in 1 \dots m-1\\
uB_{i-1}^{m-1}(u),& i = m
\end{cases}
, \qquad \forall u \in [0,1]
.
Exemple de polynômes de Berstein de degré 3.

Lien avec la loi binomiale[modifier | modifier le code]

D'un point de vue probabiliste, pour tout p\in [0,1], B^m_i(p) est la probabilité P(X=i), où X est une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre (m,p). C'est d'ailleurs l'interprétation qu'en fait Bernstein dans sa démonstration du théorème d'approximation de Weierstrass.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Sergeï Natanovitch Bernstein, « Démonstration du théorème de Weierstrass, fondée sur le calcul des probabilités », dans Comm. Soc. Math. Kharkov Ser. 2, vol. 13, 1912.

Voir aussi[modifier | modifier le code]