Polynôme de Bernstein

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Les polynômes de Bernstein, nommés ainsi en l'honneur du mathématicien ukrainien Sergeï Bernstein, permettent de donner une démonstration constructive et probabiliste[1] du théorème d'approximation de Weierstrass. Ils sont également utilisés dans la formulation générale des courbes de Bézier.

Description[modifier | modifier le code]

Pour un degré m ≥ 0, il y a m + 1 polynômes de Bernstein B^m_0,\dots,B^m_m définis, sur l'intervalle [0, 1], par

B_i^m(u) = \begin{pmatrix} m \\ i \end{pmatrix} u^i \left( 1-u \right)^{m-i},

où les \begin{pmatrix} m \\ i \end{pmatrix} sont les coefficients binomiaux.

Ces polynômes présentent quatre propriétés importantes : \forall u \in [0,1]

  • partition de l'unité : \qquad \sum_{i=0}^m B_i^m(u)=1,
  • positivité : \forall i\in\{0,\ldots,m\}\quad B_i^m(u)\ge0,
  • symétrie : \forall i\in\{0,\ldots,m\}\quad B_i^m(u)=B_{m-i}^m(1-u),
  • formule de récurrence : pour m > 0, 
B_i^m(u) =
\begin{cases}
(1-u)B_i^{m-1}(u)&\text{si }i=0\\
(1-u)B_i^{m-1}(u) + u B_{i-1}^{m-1}(u,&\forall i \in 1 \dots m-1\\
uB_{i-1}^{m-1}(u)&\text{si }i=m.
\end{cases}
.
Polynômes de Berstein de degré 3.

Lien avec la loi binomiale[modifier | modifier le code]

D'un point de vue probabiliste, pour tout p\in [0,1], B^m_i(p) est la probabilité P(X=i), où X est une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre (m,p). C'est d'ailleurs l'interprétation qu'en fait Bernstein dans sa démonstration du théorème d'approximation de Weierstrass.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Sergeï Natanovitch Bernstein, « Démonstration du théorème de Weierstrass, fondée sur le calcul des probabilités », dans Comm. Soc. Math. Kharkov Ser. 2, vol. 13, 1912.

Voir aussi[modifier | modifier le code]