Polynôme d'Hermite

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En mathématiques, les polynômes d'Hermite sont une suite de polynômes qui a été nommée ainsi en l'honneur de Charles Hermite (bien qu'ils aient été surtout étudiés par Joseph-Louis Lagrange lors de ses travaux sur les probabilités). Ils sont parfois décrits comme des polynômes osculateurs.

Ils sont définis comme suit :

H_n(x)=(-1)^n e^{x^2/2}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}e^{-x^2/2} (forme dite probabiliste)
\widehat{H}_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}e^{-x^2} (forme dite physique)

Les deux définitions sont liées par la propriété d'échelle suivante: \widehat{H}_n(x) = 2^{n/2}H_n \left(x\,\sqrt{2} \right)\,\!.

Polynômes d'Hermite

Les premiers polynômes d'Hermite sont les suivants :

H_0=1~
H_1=X~
H_2=X^2-1~
H_3=X^3-3X~
H_4=X^4-6X^2+3~
H_5=X^5-10X^3+15X~
H_6=X^6-15X^4+45X^2-15~
\widehat{H}_0=1~
\widehat{H}_1=2X~
\widehat{H}_2=4X^2-2~
\widehat{H}_3=8X^3-12X~
\widehat{H}_4=16X^4-48X^2+12~
\widehat{H}_5=32X^5-160X^3+120X~
\widehat{H}_6=64X^6-480X^4+720X^2-120~

On peut démontrer que dans {H_p}~ les coefficients d'ordre ayant la même parité que p-1~ sont nuls et que les coefficients d'ordre p~ et p-2~ valent respectivement 1~ et -p(p-1)/2~ .

Orthogonalité[modifier | modifier le code]

H_n est un polynôme de degré n. Ces polynômes sont orthogonaux pour la mesure \mu de densité

\frac{\mathrm{d}\mu(x)}{\mathrm{d}x} = \frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}} ,

c'est-à-dire qu'ils vérifient :

\int_{-\infty}^{+\infty} H_n(x)H_m(x)\,e^{-x^2/2}\,\mathrm{d}x=n!\sqrt{2\pi}~\delta_{nm}

\delta_{nm} est le symbole de Kronecker.

Ces fonctions forment donc une base orthogonale de l'espace de Hilbert L^2(\mathbb C,\mu) des fonctions boréliennes telles que

\int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)|^2\,\frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\,\mathrm{d}x< +\infty

dans lequel le produit scalaire est donné par l'intégrale

\langle f,g\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\overline{g(x)}\,\frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\,\mathrm{d}x.\,

Des propriétés analogues sont vérifiables pour les polynômes d'Hermite sous leur forme physique.

Diverses propriétés[modifier | modifier le code]

Le n-ième polynôme d'Hermite satisfait l'équation différentielle suivante (dans ses deux versions probabiliste ou physique):

H_n''(x)-xH_n'(x)+nH_n(x)=0.\,
\widehat{H}_n''(x)-2x\widehat{H}_n'(x)+2n\widehat{H}_n(x)=0.\,

Les polynômes satisfont la propriété

H_n'(x)=nH_{n-1}(x),\,
\widehat{H}_n'(x) = 2n \widehat{H}_{n-1}(x),\,

que l'on peut écrire ainsi

H_n(x+y)=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^k H_{n-k}(y)
\widehat{H}_n(x+y)=\sum_{k=0}^n{n \choose k}(2x)^k \widehat{H}_{n-k}(y)

Ils vérifient donc la relation de récurrence suivante :

H_{n+1}(x)= xH_{n}(x) - nH_{n-1}(x),\,
\widehat{H}_{n+1}(x)= 2x\widehat{H}_{n}(x) - 2n\widehat{H}_{n-1}(x).\,

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]