Polynôme d'Appell généralisé

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Définition[modifier | modifier le code]

En mathématiques, une suite de polynômes \{p_n(z)\,\}\, possède une représentation d'Appell généralisée si la fonction génératrice des polynômes prend la forme suivante :

K(z,w) = A(w)\Psi(zg(w)) = \sum_{n=0}^\infty p_n(z) w^n

où la fonction génératrice K(z,w)\, est composée des séries :

  • A(w)= \sum_{n=0}^\infty a_n w^n \quad avec a_0 \ne 0 \,
  • \Psi(t)= \sum_{n=0}^\infty \Psi_n t^n \quad avec tous les \Psi_n \ne 0 \,
  • g(w)= \sum_{n=1}^\infty g_n w^n \quad, avec g_1 \ne 0.

Dans les conditions ci-dessus, il n'est pas difficile de montrer que p_n(z)\, est un polynôme de degré n\,.

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

  • Le choix de g(w)=w\, donne la classe des polynômes de Brenke.
  • Le choix simultané de g(w)=w\, et de \Psi(t)=e^t\, donne la suite des polynômes d'Appell au sens strict.

Représentation explicite[modifier | modifier le code]

Les polynômes d'Appell généralisés ont la représentation explicite

p_n(z) = \sum_{k=0}^n z^k \Psi_k h_k.

Le coefficient h_k\, est

h_k=\sum_{P} a_{j_0} g_{j_1} g_{j_2} \ldots g_{j_k}

où la somme s'étend à toutes les partitions de n en k+1 parties — au sens large — c'est-à-dire en admettant la partie vide pour \{j_0\}\, ; si bien que la somme comprend tous les \{j\}\,, nuls ou non, tels que j_0+j_1+ \ldots +j_k = n\,.

Pour les polynômes d'Appell, ceci devient la formule :

p_n(z) = \sum_{k=0}^n \frac {a_{n-k} z^k}{k!}

Relations de récurrence[modifier | modifier le code]

De manière équivalente, une condition nécessaire et suffisante pour que le noyau K(z,w)\, puisse être écrit comme A(w)\Psi(zg(w))\, avec g_1=1\, est que

\frac{\partial K(z,w)}{\partial w} =   
c(w) K(z,w)+\frac{zb(w)}{w} \frac{\partial K(z,w)}{\partial z}

b(w)\, et c(w)\, ont un développement en série

b(w) = \frac{w}{g(w)} \frac {d}{dw} g(w)  
= 1 + \sum_{n=1}^\infty b_n w^n

et

c(w) = \frac{1}{A(w)} \frac {d}{dw} A(w)  
= \sum_{n=0}^\infty c_n w^n.

En faisant la substitution :

K(z,w)= \sum_{n=0}^\infty p_n(z) w^n

il vient immédiatement la relation de récurrence :

 z^{n+1} \frac {d}{dz} \left[ \frac{p_n(z)}{z^n}
\right]= -\sum_{k=0}^{n-1} c_{n-k-1} p_k(z) -z \sum_{k=1}^{n-1} b_{n-k} \frac{d}{dz} p_k(z)

Dans le cas particulier des polynômes de Brenke, on a g(w)=w\, et donc tous les b_n=0\,, ce qui simplifie considérablement la relation de récurrence.

Références[modifier | modifier le code]

  • Ralph P. Boas, Jr. and R. Creighton Buck, « Polynomial Expansions of Analytic Functions » (Deuxième édition corrigée), (1964) Academic Press Inc., Publishers, New York, Springer-Verlag, Berlin. Library of Congress Card Number 63-23263.
  • William C. Brenke, On generating functions of polynomial systems, « American Mathematical Monthly », (1945) 52 pp. 297-301.
  • W. N. Huff, The type of the polynomials generated by f(xt) φ(t) « Duke Mathematical Journal », (1947) 14 pp 1091-1104.