Polyèdre oblique infini

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En géométrie, les polyèdres obliques infinis sont une définition étendue des polyèdres, créés par des faces polygonales régulières, et des figures de sommet non planaires.

Beaucoup sont directement reliés aux nids d'abeille convexes uniformes (en), étant la surface polygonale d'un nid d'abeille avec certaines cellules enlevées. En tant que solides, ils sont appelés nids d'abeille partiels et aussi éponges.

Ces polyèdres sont aussi appelés pavages hyperboliques parce qu'ils peuvent être regardés comme reliés aux pavages de l'espace hyperbolique (en) qui ont aussi un défaut angulaire (en) négatif.

Polyèdres obliques réguliers[modifier | modifier le code]

Selon Coxeter, en 1926 John Flinders Petrie a généralisé le concept de polygones obliques (en) réguliers (polygones non planaires) aux polyèdres obliques réguliers.

Il existe 3 polyèdres obliques réguliers :

  1. {4,6|4} : 6 carrés sur un sommet (relié au nid d'abeille cubique (en), construit avec des cellules cubiques, en enlevant deux faces opposées sur chacune et en reliant tous les ensembles de six autour d'un cube sans face).
  2. {6,4|4} : 4 hexagones sur un sommet (relié au nid d'abeille cubique bitronqué (en), construit avec des octaèdres tronqués avec leurs faces carrées enlevées et reliant les paires de trous ensemble).
  3. {6,6|3} : 6 hexagones sur un sommet (relié au quart de nid d'abeille cubique (en), construit avec des cellules tétraédrique tronquées, en enlevant les faces triangulaires, et en reliant les ensembles de quatre autour d'un tétraèdre sans face).

Leurs figures de sommet sont des polygones obliques, zigzaguant entre deux plans.

Voici quelques représentations partielles, des vues verticales projetées de leurs figures de sommet obliques et des nids d'abeille uniformes correspondant partiellement.

Six-square skew polyhedron.png
{4,6|4}
Four-hexagon skew polyhedron.png
{6,4|4}
Six-hexagon skew polyhedron.png
{6,6|3}
Six-square skew polyhedron-vf.png
4.4.4.4.4.4
Four-hexagon skew polyhedron-vf.png
6.6.6.6
Six-hexagon skew polyhedron-vf.png
6.6.6.6.6.6
Partial cubic honeycomb.png
nid d'abeille cubique (en)
Bitruncated cubic honeycomb.png
nid d'abeille cubique bitronqué (en)
Bitruncated alternated cubic honeycomb.jpg
quart de nid d'abeille cubique (en)

Polyèdres obliques réguliers prismatiques[modifier | modifier le code]

Il existe aussi deux formes prismatiques régulières, disqualifiées par Coxeter (parmi d'autres) de l'appellation régulière parce qu'elles ont des faces coplanaires adjacentes.

  1. 5 carrés sur un sommet (deux pavages carrés parallèles connectés par des trous cubiques).
  2. 8 triangles sur un sommet (deux pavages triangulaires parallèles connectés par des trous octaédriques).

Au-delà de l'espace tridimensionnel euclidien, C. W. L. Garner a déterminé un ensemble de 32 polyèdres obliques réguliers dans un espace tridimensionnel hyperbolique, dérivé des quatre nids d'abeille hyperboliques réguliers (en).

Polyèdres obliques semi-réguliers[modifier | modifier le code]

Il existe beaucoup d'autres polyèdres obliques semi-réguliers (de sommet uniforme), découverts par A. F. Wells et John Richard Gott (il les ont appelés pseudopolyèdres) dans les années 60.

Skew polyhedron 4446a.png
Un polyèdre oblique prismatique semi-régulier avec une configuration de sommet (en) 4.4.4.6
Skew polyhedron 4848.png
Un polyèdre oblique semi-régulier (partiel) avec une configuration de sommet 4.8.4.8. Relié au nid d'abeille cubique omnitronqué (en)
Skew polyhedron 34444.png
Un polyèdre oblique semi-régulier (partiel) avec une configuration de sommet 3.4.4.4.4. Relié au nid d'abeille cubique runcitronqué (en)

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Infinite skew polyhedron » (voir la liste des auteurs)
  • (en) Coxeter, Regular Polytopes,3e éd., Dover, 1973 (ISBN 0-486-61480-8)
  • (en) Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover, 1999 (ISBN 0-486-40919-8), chap. 5 : Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues
  • (en) H. S. M. Coxeter, « Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimensions », dans Proc. London Math. Soc., vol. 43, 1937, p. 33-62
  • (en) C. W. L. Garner, « Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space », dans Canad. J. Math., vol. 19, 1967, p. 1179-1186

Liens externes[modifier | modifier le code]