Point rationnel

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En théorie des nombres et géométrie algébrique, les points rationnels d'une variété algébrique X définie sur un corps k sont, lorsque X est définie par un système d'équations polynomiales, les solutions dans k de ce système.

Définition formelle[modifier | modifier le code]

Soit X une variété algébrique définie sur un corps k. Un point x\in X est appelé un point rationnel si le corps résiduel k(x) de X en x est égal à k. Cela revient à dire que les coordonnées du point x dans une carte locale affine appartiennent toutes à k. Lorsque la variété algébrique est déduite d'un système d'équations polynômiales homogène ou affine, les points rationnels correspondent aux solutions du système dans k.

L'ensemble des points rationnels de X est noté X(k).

Sur un corps de base algébriquement clos, tous les points (fermés) sont rationnels. Dans le cas contraire, X(k) peut très bien être vide sans que X le soit.

Quelques exemples[modifier | modifier le code]

Une partie importante de la géométrie arithmétique concerne l'étude des points rationnels des variétés algébriques définies sur un corps de nombres.

  • L'ensemble des points rationnels d'un espace affine \mathbb A^n_K s'identifie à K^n. De même l'ensemble des points rationnels d'un espace projectif \mathbb P^n_K (comme variété algébrique) s'identifie à l'espace projectif (K^{n+1} \setminus \{ 0 \})/K^*.
  • Si X est la courbe algébrique projective définie par l'équation x^p+y^p+z^p=0 dans ℚ, où p est un nombre premier impair, les points rationnels X(ℚ) correspondent aux solutions homogènes de l'équation de Fermat d'exposant p. Le point (1:-1:0) est un point rationnel (sur ℚ), par contre le point (-1:\xi_p:0)\xi_p=e^{2i\pi/p}\in \C est une racine primitive p-ième de l'unité, n'est pas rationnel.
  • La courbe affine x2 + y2 + 1 = 0 sur ℝ n'a pas de points rationnels.
  • La conjecture de Mordell, démontrée par Gerd Faltings, dit que pour toute courbe projective non-singulière de genre au moins deux, définie sur un corps de nombres, admet au plus un nombre fini de points rationnels.
  • Le théorème de Mordell-Weil, généralisé par Lang et Néron[1],[2], dit que pour toute variété abélienne A sur un corps K de type fini sur ℚ ou un corps fini, l'ensemble des points rationnels A(K) est un groupe abélien de type fini.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

§ "Points rationnels" de l'article : Variété algébrique

Notes[modifier | modifier le code]

  1. (en) Serge Lang et André Néron, Rational points of abelian varieties over function fields, Amer. J. Math. 81 (1959), 95–118
  2. (en) Brian Conrad, « Chow's K/k-image and K/k-trace, and the Lang-Néron theorem », Enseign. Math., 52 (2006), 37–108 [lire en ligne].