Point de Lebesgue

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En mathématiques et plus particulièrement en théorie de la mesure, un point x du domaine de définition d'une application f Lebesgue-intégrable sur ℝn est appelé point de Lebesgue lorsque f varie « très peu » au voisinage de x ou de manière plus générale si les moyennes des applications t ↦|f(t) – f(x)| sur les boules centrées sur x sont « très petites ».

Définition[modifier | modifier le code]

Plus précisément et de manière formelle, x est un point de Lebesgue de f ∈ L1(ℝn) si

\lim_{r\rightarrow 0^+}\frac{1}{\lambda\left(B\left(x,r\right)\right)}\int_{B(x,r)} |f(t)-f(x)|\mathrm{d}\lambda(t)=0,

B(x, r) désigne la boule de ℝn centrée en x et de rayon r > 0 et λ désigne la mesure de Lebesgue.

Un théorème[modifier | modifier le code]

Le théorème de différentiation de Lebesgue affirme que si f ∈ L1(ℝ) alors presque tous les points de ℝ sont des points de Lebesgue. Autrement dit l'ensemble des points x ∈ ℝ qui ne sont pas des points de Lebesgue est négligeable.

Application[modifier | modifier le code]

Une application directe du théorème précédent est la première partie du théorème fondamental de l'analyse :

Si f ∈ L1(ℝ) et F(x)=\int_{-\infty}^xf(t){\rm d}\lambda(t) alors, en tout point de Lebesgue de f donc presque partout, F est dérivable et F'(x) = f(x).

Référence[modifier | modifier le code]

Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

[PDF] Jean-François Burnol, « Points de Lebesgue », sur Université Lille 1,‎ 2006