Point de Lagrange

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Un point de Lagrange (noté L1 à L5), ou, plus rarement, point de libration, est une position de l'espace où les champs de gravité de deux corps en orbite l'un autour de l'autre, et de masses substantielles, fournissent exactement la force centripète requise pour que ce point de l'espace accompagne simultanément l'orbite des deux corps. Dans le cas où les deux corps sont en orbite circulaire, ces points représentent les endroits où un troisième corps de masse négligeable resterait immobile par rapport aux deux autres, au sens où il accompagnerait à la même vitesse angulaire leur rotation autour de leur centre de gravité commun sans que sa position par rapport à eux n'évolue. Au nombre de cinq, ces points se scindent en deux points stables dénommés L4 et L5, et en trois points instables notés L1 à L3. Ils sont nommés en l'honneur du mathématicien français Joseph-Louis Lagrange[1]. Ils interviennent dans l'étude de certaines configurations d'objets du Système solaire (principalement pour les points stables) et dans le placement de divers satellites artificiels (principalement pour les points instables). Ce sont les points remarquables de la « géométrie de Roche[2] » (points-col et extrema) laquelle permet notamment de classer les différents types d'étoiles binaires.

Historique[modifier | modifier le code]

En mécanique céleste, il est un sujet qui a passionné de nombreux mathématiciens : c'est le problème dit des trois corps. Newton, après avoir énoncé sa loi qui exprime que « les corps s'attirent avec une force proportionnelle au produit de leur masse et inversement proportionnelle au carré de la distance de leurs centres », a cherché à décrire le comportement de trois corps sans y parvenir. Il faut attendre le mathématicien Joseph-Louis Lagrange qui, en 1772, étudia le cas d'un petit corps, de masse négligeable (ce qu'on appelle aujourd'hui corps d'épreuve ou particule-test), soumis à l'attraction de deux plus gros : le Soleil et, par exemple, une planète. Il découvrit qu'il existait des positions d'équilibre pour le petit corps, des endroits où toutes les forces se compensent.

Définition[modifier | modifier le code]

Un objet de faible masse situé en ces points n'en bouge plus relativement aux deux autres corps, et tourne de concert avec eux (par exemple une planète et le Soleil).

Trois des points de Lagrange sont situés sur l'axe reliant les deux corps. Dans le cas d'un grande dissymétrie de masse entre ceux-ci, deux points sont situés proches et de part et d'autre du corps peu massif, alors que le troisième est quasiment situé à l'opposé du corps peu massif par rapport au corps massif.

Si on donne en exemple les points de Lagrange du système Soleil-Terre, ces cinq points sont notés et définis comme suit (échelle non respectée) :

  • L1 : sur la ligne définie par les deux masses, entre celles-ci, la position exacte dépendant du rapport de masse entre les deux corps ; dans le cas où l'un des deux corps a une masse beaucoup plus faible que l'autre, le point L1 est situé nettement plus près du corps peu massif que du corps massif.
  • L2 : sur la ligne définie par les deux masses, au-delà de la plus petite. Dans le cas où l'un des deux corps a une masse beaucoup plus faible, la distance de L2 à ce corps est comparable à celle entre L1 et ce corps.
  • L3 : sur la ligne définie par les deux masses, au-delà de la plus grande. Dans le cas où l'un des deux corps est notablement moins massif que l'autre, la distance entre L3 et le corps massif est comparable avec celle entre les deux corps.
Les deux derniers points de Lagrange forment avec les deux corps des triangles équilatéraux.
  • L4 et L5 : sur les sommets des deux triangles équilatéraux dont la base est formée par les deux masses. Sans qu'il y ait de consensus précis, L4 est celui des deux points en avance sur l'orbite de la plus petite des masses, dans son orbite autour de la grande, et L5 est en retard. Ces points sont parfois appelés points de Lagrange triangulaires ou points Troyens, du fait que c'est le lieu où se trouvent les astéroïdes troyens du système Soleil-Jupiter. Contrairement aux trois premiers points, ces deux derniers ne dépendent pas des masses relatives des deux autres corps.

Calcul de la position des points de Lagrange[modifier | modifier le code]

Le calcul de la position des points de Lagrange se fait en considérant l'équilibre d'un corps de masse négligeable entre le potentiel gravitationnel créé par deux corps en orbite et la force centrifuge. La position des points L4 et L5 peut être obtenue analytiquement. Celle des trois autres points L1 à L3 s'obtient en résolvant numériquement ou éventuellement à l'aide d'un développement limité une équation algébrique. La position de ces trois points est donnée dans le tableau ci-dessous dans le cas où la masse d'un des deux corps (en l'occurrence le numéro 2) est négligeable devant l'autre, situé à une distance R du précédent. Les positions sont données le long de l'axe reliant les deux corps, dont l'origine est identifiée au centre de gravité du système, et dont l'orientation va du corps 1 au corps 2. Les quantités r2 et q dénotent respectivement la position du corps 2 sur l'axe et le rapport de la masse du corps le plus léger à la masse totale des deux corps. Enfin, on utilise la quantité ε définie par ε = (q / 3)1/3.

Point Position par rapport au centre de gravité du système
L1 r_2 + R \left(- \epsilon + \frac{1}{3} \epsilon^2 + \frac{1}{9} \epsilon^3 + \mathcal{O}(\epsilon^4)\right)
L2 r_2 + R \left(\epsilon + \frac{1}{3} \epsilon^2 - \frac{1}{9} \epsilon^3 + \mathcal{O}(\epsilon^4)\right)
L3 - R + R\left(- \frac{5}{12} q + \frac{1127}{20736} q^3 + \mathcal{O}(q^4)\right)

Dans la littérature, on trouve parfois des expressions quelque peu différentes, du fait que l'origine de l'axe est prise ailleurs que sur le centre de gravité, et que l'on utilise comme terme à la base du développement limité le rapport entre les deux masses plutôt que le rapport de la plus petite à la masse totale, c'est-à-dire que l'on utilise parfois la quantité q' définie par q' = \frac{m_2}{M_1} = \frac{q}{1 - q}.

Stabilité[modifier | modifier le code]

Lagrange points2.svg
Les points L4 et L5 bien que situés à des maxima du potentiel sont paradoxalement stables. L1, L2 et L3 qui sont des points-col sont instables.

Le calcul ci-dessus n'indique en rien si les points de Lagrange sont stables. La stabilité ou non de ces points est du reste peu intuitive. Dans le référentiel tournant avec les deux corps, une particule d'épreuve peut être vue comme soumise à un potentiel incluant la contribution gravitationnelle et celle de la force centrifuge. Ce potentiel, noté Ω, s'écrit ainsi

\Omega = - \frac{G M_1}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_1|} - \frac{G m_2}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_2|} - \frac{1}{2} |\boldsymbol{r}|^2 \omega^2.

Tous les termes de ce potentiel sont négatifs et décroissent à mesure que l'on s'éloigne des masses (pour les deux premiers termes) ou du centre de gravité du système (pour le troisième). On peut ainsi montrer que les points de Lagrange L4 et L5 sont des maxima locaux du potentiel Ω (voir ci-dessous) et que les trois autres points sont des points selles. D'ordinaire, une position d'équilibre (déterminée par l'annulation des dérivées du potentiel) est stable uniquement si on se situe dans des minima locaux du potentiel. Cependant, étant donné que l'on est dans un référentiel tournant, le référentiel est non inertiel. Un objet se déplaçant dans ce référentiel, par exemple au voisinage d'une position d'équilibre, va être soumis à la force de Coriolis, et son mouvement ne dépend pas uniquement de la forme du potentiel. Pour étudier la stabilité des points de Lagrange, il faut donc tenir compte de la force de Coriolis.

Pour calculer la stabilité des points de Lagrange, il faut ainsi étudier l'équation du mouvement d'un objet situé au voisinage d'un de ces points. En notant δR le vecteur de coordonnées δX et δY donnant l'écart d'un tel objet à un des points de Lagrange (que l'on suppose confiné au plan orbital, l'équation du mouvement s'écrit

\ddot{\boldsymbol{\delta R}} = -2  \boldsymbol{\omega} \wedge \dot {\boldsymbol {\delta R}} +  \boldsymbol {\delta f},

δf représente la force par unité de masse exercée sur l'objet. Cette force est petite du fait qu'au point de Lagrange la force (constituée d'une composante gravitationnelle et de la force centrifuge) est nulle et que l'on se place à proximité d'un tel point. Cette force peut se calculer en termes d'un développement limité. Par exemple, pour la composante X, on a

\delta f_X = f_X (0) + \frac{\partial f_X}{\partial X} \delta X + \frac{\partial f_X}{\partial Y} \delta Y.

Le premier terme correspond à la force s'exerçant au point de Lagrange, force qui est nulle par construction. Par ailleurs, la force dérivant d'un potentiel, on peut exprimer les dérivées de la force en termes de dérivées secondes du potentiel :

\delta f_X = - \frac{\partial^2 \Omega}{\partial X^2} \delta X - \frac{\partial^2 \Omega}{\partial X \partial Y} \delta Y.

On peut ainsi exprimer l'équation du mouvement en termes des composantes selon

\ddot{\delta X} = 2 \omega \dot{\delta Y} - \frac{\partial^2 \Omega}{\partial X^2} \delta X - \frac{\partial^2 \Omega}{\partial X \partial Y} \delta Y,
\ddot{\delta Y} = - 2 \omega \dot{\delta X}- \frac{\partial^2 \Omega}{\partial X \partial Y} \delta X - \frac{\partial^2 \Omega}{\partial Y^2} \delta Y.

Ce groupe d'équation peut être mis sous la forme d'un système de quatre équations différentielles du premier ordre :

\frac{\partial}{\partial t}\left(\begin{array}{c} \delta X \\ \delta Y \\ \dot{\delta X} \\ \dot{\delta Y} \end{array} \right) = \left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -\Omega_{,xx} & - \Omega_{,xy} & 0 & -2 \omega \\ - \Omega_{,xy} & -\Omega_{,yy} & 2 \omega & 0 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \delta X \\ \delta Y \\ \dot{\delta X} \\ \dot{\delta Y} \end{array} \right),

où les dérivées partielles du potentiel Ω ont été notée en indice précédé d'un virgule (par exemple, Ω,xx correspond à \partial^2 \Omega / \partial x^2).

La stabilité du point de Lagrange considéré est obtenue en recherchant les solutions de cette équation. Pour cela, il suffit de trouver des solutions de type exponentielle, en e^{\Gamma t}. On va ainsi procéder à la diagonalisation de la matrice ci-dessus, que l'on notera A. Les valeurs propres trouvées vont correspondre aux quantités Γ ci-dessus, les écarts à la position d'équilibre étant alors une certaine combinaison d'au plus quatre exponentielles. La stabilité du système est assuré par le fait que les exponentielles ne croissent pas au cours du temps, c'est-à-dire que les quantités Γ sont soit négatives, soit complexes à partie réelle négatives. En fait, il n'est pas nécessaire de diagonaliser complètement la matrice, il suffit d'en trouver les valeurs propres, c'est-à-dire les solutions de l'équation

\det(A - \lambda I) = 0.

Ce déterminant s'écrit

\left|\begin{array}{cccc} - \lambda & 0  & 1 & 0 \\ 0 & -\lambda & 0 & 1 \\ -\Omega_{,xx} & - \Omega_{,xy}, & - \lambda & - 2 \omega \\ - \Omega_{,xy} & - \Omega_{yy} & 2 \omega & -\lambda \end{array} \right|,

et il vaut

\lambda^4 + (\Omega_{,xx} + \Omega_{,yy} + 4 \omega^2) \lambda^2 + \Omega_{,xx} \Omega_{,yy} - \Omega_{,xy}^2.

Cette équation peut se ramener à une équation polynomiale du second ordre en λ2. Les solutions de l'équation de départ sont donc deux couples de nombres opposés deux à deux. Pour que deux nombres opposés soient négatifs ou nuls ou alors de partie réelle négative ou nulle, il faut obligatoirement qu'ils soient des nombres imaginaires purs, donc que les solutions de l'équation en λ2 soient réelles et négatives. Pour que ces solutions soient réelles, il faut donc que le discriminant soit positif, soit ici

(\Omega_{,xx} + \Omega_{,yy} + 4 \omega^2)^2 - 4 (\Omega_{,xx} \Omega_{,yy} - \Omega_{,xy}^2) > 0.

Une fois ceci obtenu, il faut que les deux solutions réelles soient négatives, ce qui implique que simultanément leur somme soit négative et leur produit positif, ce qui implique

\Omega_{,xx} + \Omega_{,yy} + 4 \omega^2 > 0,
\Omega_{,xx} \Omega_{,yy} - \Omega_{,xy}^2 > 0.

La stabilité d'un point de Lagrange est soumise à la réalisation de ces trois contraintes. Parmi ces contraintes, la dernière a une interprétation simple : le signe de la quantité \Omega_{,xx} \Omega_{,yy} - \Omega_{,xy}^2 détermine si la position considérée est un extrémum local ou un point selle. En l'occurrence, la positivité de cette quantité implique qu'elle doive être un extrémum local, condition nécessaire mais non suffisante à la stabilité du point de Lagrange. Quand cette quantité est négative, on a un point selle et le point de Lagrange est instable. Par contre, de façon plus surprenante, un point de Lagrange peut être stable s'il correspond à un maximum local du potentiel, c'est-à-dire que Ω,xx +  Ω,yy peut être négatif, pourvu que cette quantité ne dépasse pas la valeur critique de -4 ω2. En pratique, c'est ce qui se produit dans certains cas pour les points de Lagrange L4 et L5. L'interprétation physique de cette situation est que la stabilité est alors assurée par la force de Coriolis. Un objet légèrement décalé d'un tel point va s'en éloigner dans un premier temps en façon radiale, avant de voir sa trajectoire incurvée par la force de Coriolis. Si le potentiel est partout décroissant autour du point, alors il est possible que la force de Coriolis force l'objet à tourner autour du point de Lagrange, à l'instar des nuages dans une dépression qui ne se dirigent pas vers le cœur de la dépression, mais sont contraints à une trajectoire circulaire autour de celui-ci.

Temps caractéristiques en L1 et L2 pour les systèmes à grande hétérogénéité de masse[modifier | modifier le code]

Une des applications les plus importantes de l'instabilité des points de Lagrange, L1 et L2, réside dans le fait que des satellites artificiels peuvent être envoyés en ces points du système Terre-Soleil (voir ci-dessous). Pour de tels satellites, des corrections de trajectoires régulières doivent être appliquées afin de conserver le satellite au voisinage du point. Ce temps caractéristique peut être évalué dans le cas où le rapport de masse des deux corps du système est élevé. Dans ce cas, le temps caractéristique γ-1 d'instabilité est donné par

\frac{1}{\gamma} = \frac{T}{2 \pi \sqrt{1 + 2\sqrt{7}}},

T est la période orbitale du système. Dans le cas du système Terre-Soleil, où T est légèrement supérieur à 365 jours, le temps caractéristique d'instabilité est alors de 23 jours et 4 heures.

Par ailleurs, la composante stable de la trajectoire se fait à la pulsation

\omega_{\rm Traj} = \omega \sqrt{2 \sqrt{7} - 1},

soit, de façon équivalente, avec la période

T_{\rm Traj} = \frac{T}{\sqrt{2 \sqrt{7} - 1}},

ce qui, dans le même cas de figure que ci-dessus, donne une période de 176 jours.


La structure des orbites en présence d'instabilité[modifier | modifier le code]

Une fois les valeurs propres d'un point instable connues, une trajectoire au voisinage d'un point de Lagrange va être une combinaison linéaire des vecteurs propres associés aux valeurs propres. En notant λ'i l'une de ces valeurs propres, le vecteur propre associé a pour composantes

V_i = \left(\begin{array}{c} 1 \\ \mu_i \\ \lambda_i \\ \lambda_i \mu_i \end{array}\right),

avec

\mu_i = - \frac{1}{2 \omega} \left(\frac{\Omega_{,xx}}{\lambda} + \lambda \right),

et une trajectoire est de la forme

\left(\begin{array}{c} \delta X \\ \delta Y \\ \dot{\delta X} \\ \dot{\delta Y} \end{array}\right) = \sum_i \alpha_i V_i,

où les quantités αi sont des nombres quelconques déterminés par la valeur des δX, δY et de leur dérivée à un instant donné. Dans le cas des trois points de Lagrange instables, le déterminant de la matrice des dérivées secondes est négatif, ce qui implique que le discriminant de l'équation du second degré en λ2 possède des racines réelles de signe opposé, et, que, au terme, les valeurs propres recherchées sont deux nombres imaginaires purs opposés et deux nombres réels opposés. Une trajectoire générique comprend donc, dans le plan orbital, une composante périodique (liée aux racines imaginaires pures), une composante amortie (liée à la racine réelle positive), et une composante instable. Pour une position δX, δY donnée, il est toujours possible de choisir une vitesse telle que les deux vecteurs propres aux racines réelles ne contribuent pas à la solution correspondante. La trajectoire obtenue est alors périodique, la période étant donnée par la racine complexe. Une telle solution n'est cependant pas stable. Un écart de trajectoire infime va en réalité rajouter à la trajectoire une composante instable, qui va, peu à peu, éloigner la trajectoire de sa composante périodique. On dit que la trajectoire obtenue n'est pas dynamiquement stable. Ceci est une généralisation du fait qu'un objet situé exactement sur un point de Lagrange instable est dans une situation instable : un petit écart à cette position d'équilibre, inéluctablement généré par les perturbations causées par les autres corps du système, finira par éloigner l'objet de sa position initiale. La même chose se produit pour des trajectoires situées autour du point d'équilibre instable.

Pertinence du concept[modifier | modifier le code]

Le calcul ci-dessus fait référence à une configuration où les deux corps du système sont en orbite circulaire. Néanmoins, le concept de point de Lagrange prévaut pour tout type d'orbite, y compris elliptique. On peut donc définir ces points dans tout système à deux corps liés gravitationnellement. Par contre, les trajectoires, stables ou instables, autour des différents points de Lagrange dépendent explicitement de la circularité ou non de l'orbite des deux corps du système.

Dans le système solaire[modifier | modifier le code]

Troyens[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Troyen (astronomie).

Les points L4 et L5 sont généralement stables, aussi on y trouve de nombreux corps naturels, dits troyens :

  • dans le système Soleil-Jupiter, on recense (en 2011) environ 5000 astéroïdes aux points L4 et L5
  • dans le système Soleil-Neptune, huit
  • dans le système Soleil-Mars, quatre
  • dans le système Saturne-Téthys, les points L4 et L5 sont occupés par Télesto et Calypso, respectivement
  • dans le système Saturne-Dioné, Hélène et Pollux occupent ces points

Curieusement, il semblerait que le système Soleil-Saturne ne soit pas en mesure d'accumuler des troyens du fait des perturbations joviennes.

Dans le système Soleil-Terre, on connait (depuis peu) un troyen au point L4, l'astéroïde 2010 TK7, qui mesure 300 mètres de diamètre. Certains astronomes soulignent que cet objet pourrait représenter un risque comparable aux géocroiseurs [4]. Ces auteurs proposent également que l'impacteur supposément à l'origine de la Lune (Théia) aurait stationné un temps sur le point L4 ou L5 et accumulé de la masse avant d'en être éjecté sous l'action des autres planètes.

Applications[modifier | modifier le code]

Les points L1 et L2 sont des équilibres instables, ce qui les rend utilisables dans le cadre de missions spatiales : on n'y trouve pas de corps naturels, et un équilibre dynamique peut y être maintenu pour une consommation de carburant raisonnable (le champ gravitationnel étant faible dans leur voisinage).

Les principaux avantages de ces positions, en comparaison des orbites terrestres, sont leur éloignement de la Terre et leur exposition au Soleil constante dans le temps. Le point L1 se prête particulièrement à l'observation du Soleil et du vent solaire. Ce point a été occupé pour la première fois en 1978 par le satellite ISEE-3, et est actuellement occupé par les satellites SoHO et Advanced Composition Explorer. Le point L2 est à l'inverse particulièrement intéressant pour les missions d'observation du cosmos, qui embarquent des instruments de grande sensibilité devant être détournés de la Terre et de la Lune, et fonctionnant à très basse température. Il est actuellement occupé par les satellites Herschel, Planck, WMAP et Gaia.

Il a été un temps envisagé de placer un télescope spatial au point L4 ou L5 du système Terre-Lune, mais cette option a été abandonnée après que des nuages de poussière y ont été observés.

En science-fiction[modifier | modifier le code]

En science fiction, de par leur stabilité, les points L4 et L5 du système Terre-Lune abritent souvent de gigantesques colonies spatiales. Les auteurs de science-fiction et de bande dessinée aiment placer une Anti-Terre au point L3. Cette idée date d'avant la physique newtonienne, qui démontre qu'elle est tout à fait irréaliste. Le point de Lagrange n'a d'intérêt que pour un objet de masse négligeable par rapport aux deux éléments du système, ce qui n'est pas le cas d'une planète jumelle. Sans compter l'instabilité du point en question : une Anti-Terre placée en L3 tiendrait sur son orbite un peu moins d'un mois dans les meilleurs cas[réf. souhaitée].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. [Essai sur le Problème des Trois Corps http://www.ltas-vis.ulg.ac.be/cmsms/uploads/File/Lagrange_essai_3corps.pdf]
  2. Géométrie de Roche, Jean-Marie Hameury, Observatoire de Strasbourg[1]
  3. Si l'on définit q comme le rapport de la plus petite masse à la totale, seules les valeurs de q inférieures à 0,5 ont un sens, puisque les valeurs plus grandes correspondent au rapport de la plus grande masse à la masse totale.
  4. Do gravity holes harbour planetary assassins?.


Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]