Point d'inflexion

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Représentation graphique de l'équation y=x³ montrant un point d'inflexion aux coordonnées (0,0)
Point d'inflexion de la fonction arc tangente

En mathématiques, et plus précisément en analyse et en géométrie différentielle, un point d'inflexion est un point où s'opère un changement de concavité d'une courbe plane. En un tel point, la tangente traverse la courbe.

C'est pourquoi les points d'inflexion, quand on arrive à les déterminer explicitement, aident à bien représenter l'allure de la courbe.

Point d'inflexion pour le graphe d'une fonction numérique[modifier | modifier le code]

Si, en un point de la courbe représentative d'une fonction continue, la concavité passe du type « convexe » au type « concave » (ou l'inverse), on appelle ce point « point d'inflexion de la courbe ».

Graphiquement, un point d'inflexion est un point où la tangente coupe la courbe.

En un point d'inflexion la dérivée seconde f", si elle existe, s'annule et change de signe. Ceci permet de vérifier si des points sont des points d'inflexion.

Point d'inflexion pour un arc paramétré[modifier | modifier le code]

Les points d'inflexion d'un arc plan sont les points où la courbure s'annule en changeant de signe. Le centre de courbure (vers lequel est tourné la concavité de la courbe) passe d'un côté à l'autre.

Point birégulier et point d'inflexion[modifier | modifier le code]

Un point birégulier est un point tel que les vecteurs dérivés première et seconde en ce point sont indépendants. En un tel point, il y a une tangente, sans rebroussement ni inflexion (point ordinaire).

Les points non biréguliers sont les points où la courbure s'annule (avec ou sans changement de signe).

La recherche des points d'inflexion s'effectue donc en faisant la liste des points non biréguliers, et en faisant l'étude locale en chacun d'eux. Voir pour les détails de cette étude, l'article tangente.

Remarque : certains auteurs[réf. nécessaire] préfèrent donner pour définition de point d'inflexion « point tel que les vecteurs dérivés première et seconde en ce point sont colinéaires ». La distinction faite au-dessus n'a alors pas lieu d'être, mais en un point d'inflexion on ne traverse plus nécessairement la tangente.

Applications[modifier | modifier le code]

En chimie, dans un dosage, un élément de description remarquable de la courbe de dosage est la droite d'Henderson : tangente passant par l'un des points d'inflexion.

En génie mécanique, lorsque l'on conçoit une came à rainure, le point d'inflexion de la rainure correspond à l'instant où le galet suiveur passe d'un profil à l'autre (croisement). Cela marque le passage de la phase d'accélération à la phase de décélération.

Voir aussi[modifier | modifier le code]