Point à l'infini

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En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie et en topologie, on appelle point à l'infini un objet adjoint à l'espace que l'on veut étudier pour pouvoir plus commodément y définir certaines notions de limites « à l'infini », ou encore pour obtenir des énoncés plus uniformes, tels que « deux droites se coupent toujours en un point, situé à l'infini si elles sont parallèles ».

Introduction[modifier | modifier le code]

La notion de point à l'infini[1] apparait au XVe siècle dans le cadre du développement des méthodes de la perspective conique, avec l'invention de la « costruzione abbreviata » d'Alberti.

L'utilisation de ces points par les géomètres des XVIe et XVIIe siècles (par exemple Maurolico ou da Vignola en Italie, Stevin en Hollande, Desargues et Pascal en France), puis la systématisation de leur usage au XIXe, a conduit à la création d'une discipline mathématique : la géométrie projective.

La généralisation du langage géométrique dans les mathématiques du XXe siècle, et la possibilité de compactifier les corps des réels et des complexes par l'ajout d'un élément à l'infini a conduit à son tour à l'utilisation de la terminologie « point à l'infini » dans d'autres branches des mathématiques que celles directement dérivées de la géométrie.

En géométrie projective[modifier | modifier le code]

La notion de point à l'infini, et plus généralement, d'élément géométrique à l'infini (droite à l'infini, plan à l'infini, hyperplan à l'infini), n'est pas une notion purement projective, mais elle permet de passer de l'affine au projectif, et du projectif à l'affine, et a un sens dans un espace affine (droite, plan, etc.) complété en un espace projectif.

Ainsi

Réciproquement en distinguant un point quelconque d'une droite projective, que l'on appelle alors point à l'infini, on obtient une droite affine (les autres points de la droite) ; en distinguant une droite quelconque d'un plan projectif, dite alors droite à l'infini, on obtient un plan affine (le plan sans cette droite, et les points de cette droite), et ceci se généralise aux dimension 3 et supérieures.

On peut développer la notion de point à l'infini sur tout corps commutatif infini :

  • Lorsque le corps de base est ℝ, la droite affine est la droite réelle usuelle. Cette droite augmentée du point à l'infini forme une courbe fermée, appelée « droite projective réelle » et notée P1(ℝ) (voir croquis).

Autres exemples[modifier | modifier le code]

Compactifié d'Alexandrov

Note[modifier | modifier le code]

  1. Pour la variété de la problématique concernant l'usage de l'infini, on pourra consulter l'article « Infini ».

Articles connexes[modifier | modifier le code]