Plan affine (structure d'incidence)

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Dans une approche axiomatique de la géométrie, il est possible de définir le plan comme une structure d'incidence, c'est-à-dire la donnée d'objets primitifs, les points et les droites (qui sont certains ensembles de ces points) et d'une relation, dite d'incidence, entre point et droite (qui est la relation d'appartenance du point à la droite). Un plan affine est alors une telle structure vérifiant les axiomes d'incidence[1] :

  • deux points A et B distincts sont incidents à une unique droite (notée (AB)) ;
  • il existe au moins trois points non incidents à une même droite (autrement dit : trois points non alignés) ;
  • pour toute droite d et tout point A non incident à d, il existe une unique droite d' incidente à A telle qu'aucun point ne soit incident aux deux droites d et d' (autrement dit : une droite d' passant par A et disjointe de d).

Il est également possible de définir un plan affine comme espace affine de dimension 2 sur un corps. Tout plan affine sur un corps, comme le plan affine réel usuel, est un plan affine en tant que structure d'incidence, au sens où ses points et ses droites, et la relation d'appartenance d'un point à une droite, satisfont les axiomes d'incidence. Mais ces deux définitions ne coïncident pas : un axiome supplémentaire, l'axiome de Desargues, est nécessaire pour cela (voir plan affine arguésien)[2]. Les plans affines, satisfaisant donc les axiomes d'incidence, mais ne satisfaisant pas l'axiome de Desargues, sont dits non arguésiens.

Parallélisme[modifier | modifier le code]

Dans cette approche, deux droites sont dites parallèles si elles sont égales ou disjointes. L'unicité d'une droite incidente à deux points distincts implique que deux droites non parallèles n'ont qu'un point commun. On a donc la dichotomie suivante :

  • ou bien deux droites sont parallèles ;
  • ou bien elles s'intersectent en un unique point.

Le troisième axiome se reformule par l'existence et l'unicité d'une parallèle à une droite donnée passant par un point donné (y compris lorsque le point appartient à la droite, d'après la dichotomie ci-dessus).

Le parallélisme est une relation d'équivalence : la réflexivité et la symétrie sont évidentes et la transitivité se démontre comme suit. Soient trois droites d, d' et d'' telles que d soit parallèle à d' et que d' soit parallèle à d''. Si d et d'' sont disjointes, elles sont parallèles. Si au contraire elles ont un point commun A, alors ce sont deux parallèles à d' passant par A si bien que (par unicité d'une telle parallèle) elles sont égales donc, là aussi, parallèles.

Nous appellerons directions les classes d'équivalence de cette relation. La direction d'une droite est donc l'ensemble de toutes les droites qui lui sont parallèles.

Ordre d'un plan affine[modifier | modifier le code]

Dans un plan affine, toutes les droites et toutes les directions ont même nombre d'éléments[3] et ce nombre q est au moins 2. On l'appelle l'ordre du plan.

Un plan affine possède au moins quatre points trois à trois non alignés.

Plus précisément, dans un plan affine d'ordre q, chaque point appartient à q + 1 droites, donc le nombre de directions est q + 1 et le nombre de droites est q(q + 1) et il y a q2 points. (Si q est infini, tous ces nombres sont égaux.)

Lien avec les plans projectifs[modifier | modifier le code]

Tout plan projectif peut être obtenu en ajoutant à un plan affine une droite à l'infini, dont chaque point est le point à l'infini qu'on ajoute à toutes les droites affines d'une même direction. Ce plan projectif aura q2 + q + 1 points et autant de droites projectives, chaque droite contenant q + 1 points et chaque point appartenant à q + 1 droites. Réciproquement, à partir d'un plan projectif, on obtient divers plans affines (de même ordre mais non nécessairement isomorphes) en supprimant une droite projective arbitraire (et ses points).

Une représentation possible du plus petit plan affine : 4 points et 6 droites parallèles 2 à 2.

Plans affines finis et questions ouvertes[modifier | modifier le code]

Le plus petit plan affine est d'ordre 2 : c'est le plan affine sur le corps fini F2 à 2 éléments. Constitué de 4 points, c'est un parallélogramme car ses côtés sont parallèles deux à deux, mais ses deux diagonales sont aussi parallèles (il n'y a pas de milieu dans une géométrie sur le corps à 2 éléments). Il s'obtient aussi en supprimant du plan de Fano (le plan projectif sur F2) une droite (et ses trois points).

Toute puissance d'un nombre premier est l'ordre d'au moins un plan affine mais on ne sait pas si la réciproque est vraie.

Le théorème de Bruck-Ryser-Chowla (en) donne des contraintes sur l'ordre : si q est congru à 1 ou 2 modulo 4, il doit être somme de deux carrés ; ceci exclut les nombres 6, 14, 21, 22, 30, 33, 38, 42, etc. mais pas 10 ou 12, par exemple.

L'ordre 10 a été exclu par des calculs informatisés massifs[4].

Le plus petit nombre dont on ne sait pas s'il est l'ordre d'un plan affine est 12.

On ne sait pas si tout plan affine d'ordre premier est arguésien.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Affine Ebene » (voir la liste des auteurs)

  1. (en) Emil Artin, Geometric Algebra, John Wiley & Sons,‎ 2011 (1re éd. 1957) (lire en ligne), chap. II (trad. Algèbre géométrique, Calmann-Lévy).
  2. Pour les distinguer Jacqueline Lelong-Ferrand (J. Lelong-Ferrand, Fondements de la géométrie, PUF,‎ 1985 (ISBN 978-2-13-038851-7), p. 161) préfère parler de plan de type affine pour les plans satisfaisant les axiomes d'incidence et pas nécessairement l'axiome de Desargues, tout en mentionnant que les ouvrages de géométrie axiomatique parlent simplement de plan affine.
  3. Artin 2011, p. 53.
  4. (en) C. W. H. Lam, « The Search for a Finite Projective Plane of Order 10 », Amer. Math. Monthly, vol. 4,‎ 1991, p. 305-318 (lire en ligne).

Articles connexes[modifier | modifier le code]