Pendule inversé

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En physique, un pendule inversé est un pendule simple. Il présente une position d'équilibre instable s'il est maintenu vertical à 180°, mais cette position est maintenue par un système de contrôle ou par excitation de Kapitza. C'est un problème de physique non-linéaire.

Équation du mouvement

La situation est exactement la même que celle décrite pour le pendule simple, en considérant une tige rigide mais de masse négligeable. On définit donc :

• θ l'angle formé entre la tige et la verticale ;
• m la masse du pendule ;
• l la longueur de la tige ;
• g l'accélération de la pesanteur ;

On note les dérivées temporelles par un point :

$\dot{\theta} = \frac{d \theta}{d t}$ et $\ddot{\theta} = \frac{d {\dot{\theta}}}{d t}$.

On peut alors établir la période des oscillations :

$\omega_0^2 = \frac{g}{l}$.

L'énergie cinétique est :

$E_c = \frac{m l^2 \dot{\theta}^2}{2}$.

L'énergie potentielle de gravité :

$E_p = mgl(1-\cos\theta)$.

Si le pendule est laissé libre, on peut écrire la conservation de l'énergie mécanique, $E = E_c + E_p$. Alors, on obtient :

$\ddot{\theta} + \omega_0^2 \sin\theta = 0$.

La différence avec le pendule simple est que l'on s'intéresse à la situation θ ≈ π [2π] ; cela correspond à un maximum de l'énergie potentielle, c'est-à-dire à un équilibre instable.

Pendule inversé sur un chariot

Un pendule inversé sur un chariot

On peut établir les équations du mouvement à partir de la mécanique lagrangienne : en notant x(t) la position du chariot, $\theta(t)$ l'angle formé entre la tige et la verticale, le système étant soumis à la gravité et à une force F, extérieure et selon l'axe x, le lagrangien est :

$L = T - V$

avec T l'énergie cinétique et V l'énergie potentielle. On a ainsi :

$L = \frac{1}{2} M v_1^2 + \frac{1}{2} m v_2^2 - m g \ell\cos\theta$

avec $v_1$ la vitesse du chariot et $v_2$ celle de la masse $m$. On peut exprimer $v_1$ et $v_2$ à partir de x et $\theta$ :

$v_1^2=\dot x^2$

$v_2^2={\left( \dot x+\ell\dot \theta\cos\theta \right)}^2 + {\left(-\ell\dot \theta\sin\theta\right)}^2$ ce qui s'écrit encore :

$v_2^2= \dot x^2 -2 \dot x \ell \dot \theta\cos \theta + \ell^2\dot \theta^2$

Le lagrangien est donné par :

$L = \frac{1}{2} \left(M+m \right ) \dot x^2 -m \ell \dot x \dot\theta\cos\theta + \frac{1}{2} m \ell^2 \dot \theta^2-m g \ell\cos \theta$

et les équations du mouvement sont donc :

${\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}{\partial{L}\over \partial{\dot x}} - {\partial{L}\over \partial x} = F$

${\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}{\partial{L}\over \partial{\dot \theta}} - {\partial{L}\over \partial \theta} = 0$

En simplifiant ces équations, on obtient les équations, non-linéaires, du mouvement du pendule :

$\left ( M + m \right ) \ddot x - m \ell \ddot \theta\cos \theta + m \ell {\dot \theta}^2 \sin \theta = F$

$\ell \ddot \theta - \ddot x \cos \theta = g \sin \theta$

Voir aussi

• Pendule ;
• Pendule paramétrique ;
• Pendule simple ;
• Théorème de Kapitza.