Pendule inversé

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En physique, un pendule inversé est un pendule simple. Il présente une position d'équilibre instable s'il est maintenu vertical à 180°, mais cette position est maintenue par un système de contrôle ou par excitation de Kapitza. C'est un problème de physique non-linéaire.

Équation du mouvement[modifier | modifier le code]

La situation est exactement la même que celle décrite pour le pendule simple, en considérant une tige rigide mais de masse négligeable. On définit donc :

On note les dérivées temporelles par un point :

 \dot{\theta} = \frac{d \theta}{d t} et \ddot{\theta} = \frac{d {\dot{\theta}}}{d t}.

On peut alors établir la période des oscillations :

 \omega_0^2 = \frac{g}{l}.

L'énergie cinétique est :

E_c = \frac{m l^2 \dot{\theta}^2}{2}.

L'énergie potentielle de gravité :

E_p = mgl(1-\cos\theta).

Si le pendule est laissé libre, on peut écrire la conservation de l'énergie mécanique, E = E_c + E_p. Alors, on obtient :

\ddot{\theta} + \omega_0^2 \sin\theta = 0.

La différence avec le pendule simple est que l'on s'intéresse à la situation θ ≈ π [2π] ; cela correspond à un maximum de l'énergie potentielle, c'est-à-dire à un équilibre instable.

Pendule inversé sur un chariot[modifier | modifier le code]

Un pendule inversé sur un chariot

On peut établir les équations du mouvement à partir de la mécanique lagrangienne : en notant x(t) la position du chariot, \theta(t) l'angle formé entre la tige et la verticale, le système étant soumis à la gravité et à une force F, extérieure et selon l'axe x, le lagrangien est :

 L = T - V

avec T l'énergie cinétique et V l'énergie potentielle. On a ainsi :

L = \frac{1}{2} M v_1^2  + \frac{1}{2} m v_2^2 - m g \ell\cos\theta

avec v_1 la vitesse du chariot et v_2 celle de la masse m. On peut exprimer v_1 et v_2 à partir de x et \theta :

v_1^2=\dot x^2
v_2^2={\left( \dot x-\ell\dot \theta\cos\theta \right)}^2 + {\left(-\ell\dot \theta\sin\theta\right)}^2 ce qui s'écrit encore :
v_2^2= \dot x^2 -2 \dot x \ell \dot \theta\cos \theta + \ell^2\dot \theta^2

Le lagrangien est donné par :

L = \frac{1}{2} \left(M+m \right ) \dot x^2 -m \ell \dot x \dot\theta\cos\theta + \frac{1}{2} m \ell^2 \dot \theta^2-m g \ell\cos \theta

et les équations du mouvement sont donc :

{\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}{\partial{L}\over \partial{\dot x}} - {\partial{L}\over \partial x} = F


{\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}{\partial{L}\over \partial{\dot \theta}} - {\partial{L}\over \partial \theta} = 0

En simplifiant ces équations, on obtient les équations, non-linéaires, du mouvement du pendule :

\left ( M + m \right ) \ddot x - m \ell \ddot \theta\cos \theta + m \ell {\dot \theta}^2 \sin \theta = F
 \ell \ddot \theta -  \ddot x \cos \theta =  g \sin \theta

Voir aussi[modifier | modifier le code]