Pendule elliptique

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Soit un pendule pesant composé dont le point de suspension H est libre de glisser sur un axe horizontal sans frottement. La théorie du pendule pesant composé permet de ramener le problème à un haltère avec une masse m en H et une autre masse M en C, centre de percussion relatif à H : un tel pendule s'appelle pendule elliptique .

Il y a, a priori, deux degrés de liberté : OH = x(t) et l'élongation de C, $\theta (t)$ ; mais comme il n'y a aucune force externe horizontale, m .x(t) + M.l.sin $\theta (t)$ = 0 (l := HC) en se plaçant dans le référentiel galiléen adéquat : le barycentre G du système décrit alors la verticale selon le mouvement z= -a.cos $\theta (t)$ .

Le point G décrit une verticale, le point H une horizontale, le point C fixe sur cette barre rigide décrit une portion d'ellipse (théorème dit de la bande de papier de la Hire) : d'où le nom : pendule elliptique.

Petites oscillations[modifier | modifier le code]

On sait que le problème complet du pendule simple est délicat.

Ici, ne sera traité que le problème des petites oscillations.

Le théorème du moment cinétique appliqué en H dans le référentiel R (H origine), à la masse située en C donne :

$Ml^{2}{\ddot {\theta }}=-Mgl\theta +Ml{\ddot {x}}$ ,

soit compte tenu de la relation m.x + M.l. $\theta$ =0,

d'où la période $T=2\pi {\sqrt {\frac {l(M+m)}{gm}}}$

Remarque : ce problème est usuellement résolu par la méthode des équations de Lagrange, puisqu'il n'y a pas de frottement; on retrouve bien sûr les résultats précédents.

Calcul des réactions, cas général[modifier | modifier le code]

Si les oscillations ne sont pas petites, appliquer le théorème de l'énergie cinétique donne :

$({\dot {\theta }})^{2}=f(\theta )={\frac {2g(M+m)(h+cos\theta )}{l(Msin^{2}\theta +m)}}$

donc ${\ddot {\theta }}=2{\frac {df}{d\theta }}=g$

On en tire aisément :

N = mg + T cos $\theta$

avec T tension de la barre :

T = Ml.f +ml/2.g.tan $\theta$ +Mg/cos $\theta$

Bien sûr, selon la valeur des données initiales, reflétées par la valeur de h, il y aura comme pour le pendule simple, oscillations ou tournoiement.

La quadrature donnant $\theta$ (t) n'est clairement pas facile.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Pendule simple
Pendule pesant
référence : par exemple, Appell, mécanique rationnelle.

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