Partie positive et partie négative d'une fonction

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En mathématiques, à toute fonction réelle, on peut associer deux fonctions positives, dites partie positive et partie négative de la fonction, définies respectivement par

\begin{align}f^+(x)&=\quad\max(f(x),0)&=\frac{|f|+f}2&=\begin{cases}f(x)&\mbox{ si }f(x)>0\\0& \mbox{ sinon,} \end{cases} \\f^-(x)&=-\min(f(x),0)&=\frac{|f|-f}2&=\begin{cases} -f(x) & \mbox{ si } f(x) < 0 \\ 0 & \mbox{ sinon.} \end{cases}\end{align}

Malgré son nom, la « partie négative » est donc positive.

Intuitivement, le graphe par exemple de la partie positive est obtenu en tronquant le graphe de f quand il passe sous l'axe des abscisses, c'est-à-dire encore en posant 0 en ces points et en laissant inchangé le reste du graphe.

Relations avec la fonction initiale[modifier | modifier le code]

Les parties positive et négative sont liées à la fonction initiale par les deux relations suivantes :

f=f^+-f^-\quad{\rm et}\quad|f|=f^++f^-.

La décomposition d'une fonction quelconque en deux fonctions positives se révèle utile par exemple en théorie de l'intégration.

Partie positive et partie négative d'un réel[modifier | modifier le code]

La partie positive a+ et la partie négative a d'un nombre réel a sont les deux réels positifs définis par :

a^+=\max(a,0)=\frac{|a|+a}2\quad{\rm et}\quad a^-=\max(-a,0)=\frac{|a|-a}2.

ou encore par :

a=a^+-a^-\quad{\rm et}\quad|a|=a^++a^-.

Les parties positive et négative d'une fonction sont donc simplement ses composées par les deux applications aa+ et aa.

Liens externes[modifier | modifier le code]

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