Partie positive et partie négative d'une fonction

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En mathématiques, à toute fonction réelle f, on peut associer deux fonctions positives, sa partie positive f+ et sa partie négative f, définies respectivement par :

f^+(x) = \max(f(x),\, 0) = \begin{cases}f(x) &\mathrm{si}\ f(x) > 0\\0 & \mathrm{sinon},\end{cases}
f^-(x) = -\min(f(x),\, 0) = \begin{cases}-f(x) &\mathrm{si}\ f(x) < 0 \\0 & \mathrm{sinon}.\end{cases}

Malgré son nom, la « partie négative » est donc positive.

Intuitivement, le graphe par exemple de la partie positive est obtenu en tronquant le graphe de f quand il passe sous l'axe des abscisses, c'est-à-dire encore en posant 0 en ces points et en laissant inchangé le reste du graphe.

Relations avec la fonction initiale[modifier | modifier le code]

Les parties positive et négative sont liées à la fonction initiale par les deux relations suivantes :

f = f^+ - f^-,
|f| = f^+ + f^-.

À partir de ces deux parties on peut exprimer les parties positives et négatives par :

 f^+= \frac{|f| + f}{2},
 f^-= \frac{|f| - f}{2}.

Une autre relation, utilisant les crochets de Iverson est :

 f^+= [f > 0]f,
 f^-= -[f < 0]f.

La décomposition d'une fonction quelconque en deux fonctions positives se révèle utile par exemple en théorie de l'intégration.

Partie positive et partie négative d'un réel[modifier | modifier le code]

La partie positive x+ et la partie négative x d'un nombre réel x sont les deux réels positifs définis par :

x^+ = \max(x,\, 0),
x^- = -\min(x,\, 0).

On en déduit les mêmes types de relation que pour les fonctions :

x = x^+ - x^-,
|x| = x^+ + x^-,

ainsi que :

x^+ = \frac{|x| + x}{2},
x^- =  \frac{|x| - x}{2}.

Les parties positive et négative d'une fonction f sont donc simplement ses composées par les applications xx+ et xx respectivement.

Liens externes[modifier | modifier le code]

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