Partie étoilée

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Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Partie et Étoile (homonymie).
Exemple de partie étoilée : la partie rouge est
1. étoilée par rapport au point vert, mais
2. pas étoilée par rapport au point bleu

En géométrie, une partie A d'un espace affine réel E est dite étoilée par rapport à un point a de A si, pour tout point x de A, le segment [a,x] est contenu dans A.

Définitions[modifier | modifier le code]

Plus formellement, puisque le segment [a,x] est l'ensemble des barycentres à coefficients positifs des points a et x : une partie non vide A de E est étoilée par rapport à un point a de E si

\forall x\in A,~\{ (1-t)a + tx,t\in [0,1] \} \subset A~.

(Cette condition assure que a est forcément dans A.)

Une partie de E est dite étoilée (sans plus de précisions) si elle est étoilée par rapport à un point au moins.

Propriétés affines[modifier | modifier le code]

  • Une partie non vide est étoilée par rapport à a si et seulement si elle est stable sous l'action des homothéties de centre a et de rapport t pour t positif inférieur à 1.
  • Une partie de E est convexe si et seulement si elle est étoilée par rapport à chacun de ses points.
  • Dans le plan, le complémentaire d'une demi-droite est étoilé mais n'est pas convexe ; le complémentaire d'un point n'est pas étoilé.

Propriétés topologiques[modifier | modifier le code]

On suppose ici que l'espace affine réel E est topologique, c'est-à-dire associé à un espace vectoriel topologique.