Paradoxe des anniversaires

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Le paradoxe des anniversaires, dû à Richard von Mises, est à l'origine une estimation probabiliste du nombre de personnes que l'on doit réunir pour avoir une chance sur deux que deux personnes de ce groupe aient leur anniversaire le même jour de l'année. Il se trouve que ce nombre est 23, ce qui choque un peu l'intuition. À partir d'un groupe de 57 personnes, la probabilité est supérieure à 99 %.

Cependant, il ne s'agit pas d'un paradoxe dans le sens de contradiction logique ; c'est un paradoxe, dans le sens où c'est une vérité mathématique qui contredit l'intuition : la plupart des gens estiment que cette probabilité est très inférieure à 50 %.

Par souci de simplicité, tout l'article est rédigé en supposant que toutes les années sont non bissextiles. Prendre en compte le 29 février changerait peu les résultats, mais rendrait les calculs très délicats pour les applications où les personnes ne sont pas nées la même année.

Comprendre le problème[modifier | modifier le code]

Signification intuitive[modifier | modifier le code]

Le problème des anniversaires revient à choisir un nombre n d'éléments dans un ensemble qui en comprend N, sans retrait ; c'est-à-dire sans retirer les éléments choisis, si bien que certains peuvent être identiques. Le paradoxe des anniversaires est bien un cas de ce type, car chacun a une date d'anniversaire plus ou moins aléatoire, et il n'y a pas a priori de raison autre que la probabilité pour que deux dates soient identiques ou différentes.

Imaginez par exemple qu'au cours d'une soirée réunissant n personnes des petits papiers sur lesquels sont notés les nombres de 1 à N soient placés dans une corbeille. Chacun tire un papier, note le nombre lu sur un autre papier, puis replace l'original. Quelles sont les chances pour que 2 nombres tirés au moins soient identiques ? ou au contraire pour que tous soient différents ?
Pour calculer la probabilité numérique, il est plus simple de compter les chances que tous les nombres soient différents. Le point-clé non-évident qui induit notre intuition en erreur, concerne au contraire les chances que 2 nombres au moins soient identiques. Au bout du compte, les deux approches sont bien sûr équivalentes.

Si l'on considère un nombre tiré donné, quelles sont ses chances d'être identique à un autre ? Il peut être égal à n'importe quel autre ; en revanche, le nombre total de possibilités restreint ses chances : on a donc intuitivement une chance proportionnelle à n / N. Mais cette chance-là s'applique à tous les nombres tirés, si bien qu'au final la chance qu'un nombre tiré quelconque soit identique à n'importe quel autre nombre tiré est dans une proportion de n^2 / N. C'est là que notre intuition est trompée.

C'est là une grossière approximation valable seulement si n est bien plus petit que N. (Lorsque n grandit, ce raisonnement devient faux car un nombre de plus en plus grand de cas est compté plusieurs fois.) Mais cela donne néanmoins une idée des chances réelles et du point où notre appréciation intuitive est erronée : on s'attend à ce que la probabilité de coincidence soit en rapport de n / N ; et donc « logiquement » qu'une probabilité de coincidence de 50 % soit grosso modo atteinte lorsque n est environ égal à N/2.
Cela revient à dire que l’on confond la question posée : les chances de n’importe quel élément choisi d’être identique à n’importe quel autre, avec une autre question proche : les chances de n’importe quel élément choisi d’être identique à un autre élément donné. Dans le cas des anniversaires, on tend à évaluer intuitivement la probabilité pour que la date d’anniversaire de quiconque soit la même qu’une date d’anniversaire donnée (par exemple, la mienne) ; au lieu de la probabilité pour que la date d’anniversaire de quiconque soit la même que celle de n’importe qui d’autre.

Reste à savoir pourquoi notre intuition est ainsi trompée, c’est-à-dire pourquoi elle ne semble pas spontanément capable d’aborder correctement un problème de ce type. C’est une question pour les sciences cognitives.

Cas des anniversaires[modifier | modifier le code]

La clé consiste à se demander quelles sont les chances qu'aucune paire de personnes soit née le même jour. Pour chaque personne ajoutée dans la pièce, le nombre de dates non déjà prises diminue. La première personne a donc 365 choix, la deuxième 364, la troisième 363, la quatrième 362, et ainsi de suite.

Le problème consiste à se demander si une quelconque paire d'individus dans la pièce a la même date d'anniversaire.

Dans un groupe de vingt-trois personnes, il y a 23 × 22 ÷ 2 = 253 paires possibles, ce qui représente plus de la moitié du nombre de jours contenu dans une année. À partir de 28, le nombre de paires excède le nombre de jours, ce qui ne signifie évidemment pas qu'il est impossible de trouver un groupe de 28 personnes dont l'anniversaire est différent. En effet, le nombre de paires donne une intuition du problème mais n'explique pas la probabilité associée car cela reviendrait à additionner les probabilités d'évènements qui ne sont pas disjoints.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Nous donnons une preuve pour le cas d'origine, avec des jours d'anniversaires, mais cela se transpose simplement au cas de la généralisation énoncée.

Le plus simple pour obtenir le résultat annoncé est de calculer la probabilité que chaque personne ait un jour anniversaire différent de celui des autres  : le contraire de ce que l’on cherche. On va procéder par dénombrement, c'est-à-dire, que nous allons compter le nombre de cas où n personnes ont des jours d'anniversaires différents et nous diviserons par le nombre de possibilités. Il y a n personnes, pour chacune il y a 365 jours possibles, donc au total si on ne se fixe aucune contrainte, il a 365^n possibilités. Si maintenant on veut des jours différents, nous obtenons un arrangement de n parmi 365, soit  : A^n_{365}=(365-0)(365-1)...(365-n+1)=\frac{365!}{(365-n)!}.

On a donc

\overline{p}(n)= \frac{365!}{(365-n)!} \cdot \frac{1}{365^n}


On peut également le voir comme une multiplication de probabilités d'événements indépendants :

\overline{p}(n)= \underbrace{
\frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365}  \cdot \frac{363}{365} \cdot \cdots \cdot \frac{365-n+1}{365}
}_\text{n facteurs}

Or, l'événement « un jour anniversaire différent par personne » est le complémentaire de « au moins deux identiques ». Par conséquent la probabilité recherchée est p(n)=1-\overline{p}(n).

En faisant l'application numérique, on trouve 50,73 % pour vingt-trois personnes.

Probabilité de coïncidence de 2 anniversaires en fonction du nombre de personnes.
n p(n)
5 2,71 %
10 11,69 %
15 25,29 %
20 41,14 %
23 50,73 %
25 56,87 %
30 70,63 %
40 89,12 %
50 97,04 %
60 99,41 %
80 99,99 %
100 99,99997 %
200 99,9999999999999999999999999998 %
300  \left(1 - \left(7 .10^{-73}\right)\right)\cdot100\%
350 \left(1 - \left(3 . 10^{-131}\right)\right)\cdot100\%
> 366 100 % (par le principe des tiroirs)
Probabilité de non-coïncidence de 2 anniversaires en fonction du nombre de personnes.

Généralisation[modifier | modifier le code]

Ce paradoxe des anniversaires se généralise à la situation plus abstraite que l'on peut énoncer sous la forme :

Soit E un ensemble fini. La probabilité p(n) que, parmi n éléments de E, chaque élément étant tiré uniformément dans tout l'ensemble E, deux éléments au moins soient identiques vaut :

p(n)=1 - \frac{|E|!}{(|E|-n)!} \cdot \frac{1}{|E|^n}

où la notation |E| désigne le nombre d'éléments de l'ensemble E.

Une valeur approchée est donnée par

p(n)\approx 1 - e^{-\frac{n(n-1)}{2\cdot |E|}}

et une valeur de n en fonction de p par

n(p)\approx \sqrt {2\cdot |E| \ln\left(\frac{1}{1-p}\right)}

Paires trompeuses[modifier | modifier le code]

Lorsqu'on effectue le calcul par intuition, en comptant le nombre de paires, on omet le fait que les évènements ne sont pas disjoints.

Prenons l'exemple pour trois personnes (Alain, Bernard et Charles). En les prenant deux à deux, la probabilité d'avoir la même date d'anniversaire est 1/365. Et donc pour les trois paires, on aurait 3/365. Cependant, en faisant ce calcul, on oublie que l'anniversaire des trois personnes peut avoir lieu le même jour. Définissons trois évènements :

A : Alain et Bernard ont leur date d'anniversaire en commun

B : Bernard et Charles ont leur date d'anniversaire en commun

C : Charles et Alain ont leur date d'anniversaire en commun.

Et donc, P(A) = P(B) = P(C) = 1/365. Ce que nous cherchons c'est la probabilité d'avoir l'évènement A ou B ou C, soit P(A \cup B \cup C). En utilisant le formalisme repris dans les axiomes des probabilités.

P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(B \cap C) - P(C \cap A) - P(A \cap B) + P(A \cap B \cap C).

Comme les éléments sont indépendants deux à deux (le fait que Charles ait son anniversaire le même jour que Bernard n'a pas d'influence sur le fait qu'il ait aussi son anniversaire en même temps qu'Alain) donc

 P(B \cap C) = P(C \cap A) = P(A \cap B) = 1/365 \cdot 1/365

Par contre, on peut réécrire P(A \cap B \cap C) = P(A|(B \cap C)) \cdot P(B \cap C) = P(A|(B \cap C)) \cdot P(B) \cdot P(C) . Or ici,  A et  (B \cap C) ne sont pas indépendants, si Bernard et Charles ont leur anniversaire en même temps et Charles et Alain aussi, alors forcément Alain et Bernard aussi, donc  P(A|(B \cap C)) = 1.

En résumé, on aura P(A \cup B \cup C) = 3/365 - 2 \cdot 1/365\cdot1/365 . Ce qui correspond bien au résultat précédent.

Étendre ce raisonnement à un plus grand nombre de personnes devient rapidement très compliqué. Cependant, on comprend mieux pourquoi il ne suffit pas d'avoir 23 personnes pour être certain d'avoir un anniversaire commun.

Approximation[modifier | modifier le code]

p(n)[modifier | modifier le code]

La probabilité \overline{p}(n)=1-p(n) peut se réécrire sous la forme :

\overline{p}(n)=\left(1-\frac{0}{365}\right)\left(1-\frac{1}{365}\right)...\left(1-\frac{i}{365}\right)...\left(1-\frac{n-1}{365}\right)

Or, on a le développement limité e^x=1+x+o(x) pour x voisin de 0. Cela conduit à l'approximation :

\overline{p}(n)\approx \prod_{i=0}^{n-1}e^{-\frac{i}{365}}
\overline{p}(n)\approx e^{-\frac{ \sum_{i=0}^{n-1} i}{365}}

Or, la somme des entiers de 0 à n-1 vaut (n-1)n/2, ce qui donne finalement :

\overline{p}(n)\approx e^{-\frac{ n(n-1)}{2\cdot 365}}

En revenant à p(n) :

p(n)\approx 1- e^{-\frac{ n(n-1)}{2\cdot 365}}

n(p)[modifier | modifier le code]

L'approximation de p(n) permet d'obtenir simplement une approximation du nombre de personnes nécessaire pour avoir une probabilité donnée p d'avoir au moins deux personnes avec le même jour d'anniversaire. On obtient ainsi :

n(p)\approx \sqrt{2\cdot 365\ln\left(\frac{1}{1-p}\right)}

Quelques valeurs numériques[modifier | modifier le code]

Le tableau ci-dessous indique, pour une probabilité p, l'approximation n(p), puis, sur la même ligne, l'approximation de la probabilité pour l'entier inférieur ou égal à n(p) (noté \lfloor n\rfloor) et celle de probabilité pour l'entier supérieur ou égal à n(p) (noté \lceil n\rceil). Normalement, la probabilité p fixée au départ doit être comprise entre ces deux valeurs. Les entrées ne vérifiant pas cette condition sont signalées en couleur.

p n \lfloor n\rfloor p(\lfloor n\rfloor) \lceil n\rceil p(\lceil n\rceil)
0,01
2,70864
2 0,00274 3
0,00820
0,05 6,11916 6 0,04046 7 0,05624
0,1
8,77002
8 0,07434 9
0,09462
0,2
12,76302
12 0,16702 13
0,19441
0,3 16,13607 16 0,28360 17 0,31501
0,5 22,49439 22 0,47570 23 0,50730
0,7 29,64625 29 0,68097 30 0,70632
0,8 34,27666 34 0,79532 35 0,81438
0,9 40,99862 40 0,89123 41 0,90315
0,95 46,76414 46 0,94825 47 0,95477
0,99
57,98081
57
0,99012
58 0,99166

Lien avec la loi de Rayleigh[modifier | modifier le code]

Dans l'expression  :

p(n)\approx 1- e^{-\frac{ n(n-1)}{2\cdot 365}},

on reconnaît la fonction de répartition de la loi de Rayleigh  :

F(x)= 1- e^{-\frac{x^2}{2}}.

En effet, vu dans le cadre plus général des problèmes d'allocation, le calcul ci-dessus s'interprète comme la convergence d'une fonction de répartition vers une autre, traduisant la convergence en loi d'une suite de variables aléatoires : considérons m boîtes numérotées de 1 à m, m étant, pour l'instant, fixé. Supposons qu'on y alloue des boules, chaque boule étant placée dans une des m boîtes de manière équiprobable, indépendamment des allocations précédentes, et cela indéfiniment. Si m=365, ceci est la situation du problème des anniversaires pour un groupe de personnes qui s'agrandit régulièrement. Notons T_m le rang de la première boule qui est allouée dans une boite contenant déjà une autre boule, ce qui correspondrait au rang de la première personne, arrivant dans le groupe, dont la date anniversaire est déjà celle d'un autre membre du groupe (avant son arrivée tous les membres du groupe ont des dates d'anniversaires différentes, après son arrivée ce n'est plus le cas). Alors

p(n)= \mathbb{P}(T_{365}\le n),

Et l'approximation ci-dessus peut donc s'écrire :

\mathbb{P}(T_{365}/\sqrt{365}\le x)\approx 1- e^{-\frac{ x^2}{2}}.

Cela traduit le fait que la suite de variables aléatoires T_m/\sqrt{m} converge en loi vers la loi de Rayleigh, et, par là même, cela révèle un paradoxe, pour le sens commun : on s'attend probablement à ce que T_m soit du même ordre de grandeur que m, alors que cette convergence en loi révèle que T_m est du même ordre de grandeur que \sqrt{m}. Le phénomène de répétition des anniversaires a donc lieu plus tôt, pour un groupe plus petit qu'on ne s'y attendrait.

Applications[modifier | modifier le code]

Dans Le Trésor des Paradoxes (Éd Belin, 2007), les auteurs notent que l’informaticien américain Robert Mac Eliece a établi l'intérêt du paradoxe des anniversaires en informatique, pour s’assurer de la fiabilité des mémoires d’ordinateur, grâce à des codes détecteurs d’erreurs, fondés notamment sur les travaux de Richard Hamming aux Laboratoires Bell. La stratégie des codes détecteurs d’erreurs s’avère, du point de vue statistique, similaire au paradoxe des anniversaires. Le paradoxe des anniversaires est utilisé en cryptographie pour élaborer des attaques sur les fonctions de hachage. Une des contraintes imposées sur ces fonctions, pour une utilisation cryptographique, est de produire peu de collisions, autrement dit, de rarement prendre la même valeur sur des entrées différentes.

Le paradoxe des anniversaires donne une borne sur le nombre moyen d'éléments nécessaires pour avoir une collision avec une probabilité p=\frac{1}{2}, à savoir essentiellement la racine carrée du nombre de valeurs possibles pour la fonction de hachage, sous l'hypothèse que cette fonction est uniformement distribuée sur ses valeurs d'arrivée.

Plus concrètement, si une fonction de hachage a une sortie de N bits alors l'ensemble d'arrivée possède 2^N éléments et il faut environ 2^\frac N2 hachés d'éléments distincts pour produire une collision avec 50 % de chance ; les sorties de la fonction pouvant être comparées à des personnes avec des anniversaires se répartissant sur 2^N valeurs.

Anecdote[modifier | modifier le code]

Dans Le Livre qui rend fou[1], Raymond Smullyan raconte qu'il a fait établir la formule à ses 19 élèves. Il conclut après application numérique qu'il y a nettement moins d'une chance sur deux (un peu moins de 38 %) pour que deux élèves aient leur anniversaire le même jour. Un élève lui répond qu'il parie que c'est tout de même le cas. Le professeur fait l'appel en demandant aux élèves de donner leur date de naissance, et éclate de rire avant la fin, suivi de toute la classe, en se souvenant que deux de ses élèves sont jumeaux.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. The Lady or the Tiger?, 1982, p.6. (ISBN 0-8129-2117-8) (titre français : Le Livre qui rend fou)

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