Paradoxe d'Achille et de la tortue

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Le paradoxe d'Achille et de la tortue, formulé par Zénon d'Élée, dit qu'un jour, le héros grec Achille a disputé une course à pied avec le lent reptile. Comme Achille était réputé être un coureur très rapide, il avait accordé gracieusement à la tortue une avance de cent mètres.

L'argument exposé par Zénon est que Achille ne peut rattraper la tortue car si la tortue a de l'avance sur Achille, celui-ci ne peut jamais la rattraper, quelle que soit sa vitesse ; car pendant qu'Achille court jusqu'au point d'où a démarré la tortue, cette dernière avance, de telle sorte qu'Achille ne pourra jamais annuler l'avance de l'animal.

Cet argument fautif, sans doute possiblement déjà considéré comme tel par Zénon, ou pseudo-Zénon, car exposé comme un paradoxe, est totalement résolu par les mathématiques contemporaines : Achille dépasse bien la tortue. Néanmoins, les mathématiques n'expliquent pas précisément quelle est l'erreur logique dans la formulation du paradoxe, ils fournissent simplement une autre vision de la course entre Achille et la tortue qui s'avère être la bonne puisqu'elle mène au bon résultat. Le problème posé par Zénon reste de fait encore aujourd'hui paradoxal.

Argument énoncé par Zénon[modifier | modifier le code]

Zénon d'Élée affirme donc que le rapide Achille n'a jamais pu rattraper la tortue[1],[2]. « En effet, supposons pour simplifier le raisonnement que chaque concurrent court à vitesse constante, l'un très rapidement, et l'autre très lentement ; au bout d'un certain temps, Achille aura comblé ses cent mètres de retard et atteint le point de départ de la tortue ; mais pendant ce temps, la tortue aura parcouru une certaine distance, certes beaucoup plus courte, mais non nulle, disons un mètre. Cela demandera alors à Achille un temps supplémentaire pour parcourir cette distance, pendant lequel la tortue avancera encore plus loin ; et puis une autre durée avant d'atteindre ce troisième point, alors que la tortue aura encore progressé. Ainsi, toutes les fois qu'Achille atteint l'endroit où la tortue se trouvait, elle se retrouve encore plus loin. Par conséquent, le rapide Achille n'a jamais pu et ne pourra jamais rattraper la tortue».

Résolution du paradoxe[modifier | modifier le code]

Graphique du paradoxe : cas où Achille se déplace à 10 mètres par seconde, et la tortue à la moitié de sa vitesse

Pour simplifier la résolution, on choisit arbitrairement les valeurs suivantes : Achille se déplace à 10 mètres par seconde (proche du record du monde du 100 mètres au XXe siècle), la tortue à 0,1 mètre par seconde.

Avec une série[modifier | modifier le code]

En analyse moderne, le paradoxe est résolu en utilisant fondamentalement le fait qu'une série infinie de nombres strictement positifs peut converger vers un résultat fini.

En l'occurrence, ce paradoxe fonctionne en découpant un événement d'une durée finie (Achille rattrape la tortue) en une infinité d'événements de plus en plus brefs (par exemple, Achille fait 99 % de la distance manquante). Ensuite, l'erreur mathématique introduite dans le paradoxe consiste à affirmer que la somme de cette infinité d'événements de plus en plus brefs tend vers l'infini, c'est-à-dire qu'Achille n'arrive jamais (temps infini) à rattraper la tortue.

Numériquement, admettons que chaque étape est 100 fois plus brève que la précédente. Si l'on considère que la première étape a pris 10 secondes, alors la suivante a pris 0,1 seconde et on obtient la série suivante : T = 10 + 0,1 + 0,001 + 0,00001… = 10,10101… secondes. Finalement, la durée exacte est : 10,10 secondes. Mathématiquement, on peut écrire la somme sous cette forme :

T = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{10}{100^n}

Il s'agit d'une série géométrique de raison 1/100 et de terme initial 10. Ceci nous assure de sa convergence :

T = \frac{10}{1-\frac{1}{100}} = \frac{1000}{99} = 10{,}\overline{10}

Par résolution d'équation[modifier | modifier le code]

On peut éviter les additions infinies en cherchant non pas à faire rattraper la tortue là où elle se trouve, mais en cherchant à quel moment Achille et la tortue seront au même point. Mathématiquement, on cherche T tel que : 10 \cdot T = 100+0,1 \cdot T, ce qui donne 100 \cdot T = 1000+T, puis 99 \cdot T = 1000

On retrouve alors T = \frac{10}{1-\frac{1}{100}} = \frac{1000}{99} , ce qui est la somme de la série précédemment écrite.

Sur l'existence de l'infiniment petit[modifier | modifier le code]

On notera aussi qu'à travers ce paradoxe, existe une volonté de montrer que l'infiniment petit n'existe pas. Pensée également partagée par Démocrite, l'inventeur de la notion d'atome. La physique quantique va elle aussi dans ce sens en admettant l'existence d'une unité de temps et d'une unité de taille toutes deux indivisibles — approximativement 10-44 secondes et 10-35 mètres (unités de Planck).

Si on utilise cette limite, il n'est plus possible de découper en une infinité d'étapes : on additionne donc un nombre fini de durées finies (non infiniment petites), et le total est une durée finie. Cependant, la résolution mathématique démontre bien que la durée reste finie même en acceptant le découpage en une infinité d'étapes, et donc cet exercice de pensée ne réfute pas l'existence de l'infiniment petit.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Aristote (trad. Jules Barthélemy-Saint-Hilaire), Physique, Paris, Ladrange, Durand,‎ 1862, « Livre VI, chapitre 14 » : « Le second sophisme de Zénon est celui qu'on appelle l'Achille. Il consiste à dire que jamais le plus lent, quand il est en marche, ne pourra être atteint par le plus rapide, attendu que le poursuivant doit, de toute nécessité, passer d'abord par le point d'où est parti celui qui fuit sa poursuite, et qu'ainsi le plus lent conservera constamment une certaine avance. » (IVe siècle av. J.-C.)
  2. (en) Simplicius (trad. David Konstan), On Aristotle Physics 6, Londres, Bloomsbury,‎ 1989 (ISBN 978-0-7156-2217-9), « 1014-1015 » (vers 533-538 ap. J.-C.)

Source[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]