Panache volcanique

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Panache volcanique s'élevant au-dessus du Pinatubo aux Philippines au cours de son éruption plinienne de 1991.
Panache volcanique de petite taille s'élevant d'une bouche éruptive du Puʻu ʻŌʻō à Hawaii au cours d'une éruption hawaïenne en 2005.

Un panache volcanique, panache éruptif, panache de cendres, colonne éruptive ou colonne volcanique est un nuage de tephras, majoritairement des cendres volcaniques, et de gaz volcaniques chauds s'élevant en altitude au-dessus d'un volcan au cours d'une éruption.

Caractéristiques[modifier | modifier le code]

Même si tous les volcans émettent un panache volcanique lorsqu'ils entrent en éruption, les plus grands (plusieurs dizaines de kilomètres d'altitude) surviennent au cours d'éruptions pliniennes sur des volcans gris, les volcans rouges ne produisant parfois que des panaches volcaniques composés uniquement de gaz volcaniques et s'élevant peu en altitude (quelques dizaines de mètres parfois).

Modélisation analytique[modifier | modifier le code]

Historique[modifier | modifier le code]

Les travaux entrepris dans la description du comportement des panaches verticaux tels que les panaches volcaniques dans un milieu homogène ont été commencés par Rouse[1] qui a montré que le profil des propriétés d'écoulement est gaussien. Morton[2] a introduit l'hypothèse d'entrainement qui marquera une avancée majeure dans la modélisation théorique des panaches verticaux. Il a proposé une description simple de la nature du panache à travers un modèle théorique. Il a utilisé dans son approche l’hypothèse d’entrainement qui a été introduite précédemment par Taylor[3]. Cette hypothèse modélise le mécanisme d'aspiration du fluide ambiant dans le panache par une vitesse d’entrée perpendiculaire à l’axe du panache, et directement proportionnelle à la vitesse moyenne locale ascendante du panache.

Description du modèle d'entrainement de Morton
Modélisation numérique d'un panache vertical

Pour affiner les résultats sur le comportement du panache, Morton a, après analyse et développement, repris l’hypothèse de Taylor dans son étude. Il a supposé un profile uniforme (top-hat), i.e. une valeur constante à travers le panache et zéro ailleurs. Bien que les propriétés de l’écoulement telles que la vitesse et la densité suivent une distribution gaussienne le long de la zone de l'écoulement établi du panache, il est convenable de supposer une telle hypothèse pour simplifier l'écriture des équations. En fait, le passage du profil gaussien au profil top-hat peut être fait en effectuant une intégration le long de la section transversale du panache, i.e. obtenir une valeur moyenne sur la propriété voulue.

Description du modèle physique[modifier | modifier le code]

Le modèle physique est représenté schématiquement sur la figure. Il consiste en une éjection d’un fluide léger vertical turbulent dans un milieu plus dense homogène, depuis un orifice de rayon b_i, à une vitesse initiales  u_i et une densité  \rho_i .

Il a été considéré que le régime de l’écoulement est stationnaire et permanant et que le fluide est incompressible. La dispersion du panache dans un fluide homogène, est décrit mathématiquement au travers les équations de conservation afin de prédire les trajectoires, les concentrations, les vitesses, les densités et le rayon en fonction de la distance verticale le long du panache. Il est bien de noter que cette étude concerne aussi bien le cas restrictif de l'approximation de Boussinesq que le cas général non-Boussinesq.

Le nombre de Reynolds est suffisamment grand pour s'assurer que le régime d'écoulement est bien turbulent, ce qui nous permet d'affirmer que, ni le nombre de Reynolds, ni les propriétés moléculaires du fluide telles que la viscosité, n'entre directement dans la détermination des propriétés du panache. Morton[4] a précisé la limité d'applicabilité de l'hypothèse d'entrainement, dans sa note, il a indiqué que, pour les écoulements où l'équilibre n'est pas atteint, l'entrainement doit être lié non pas à la vitesse locale moyenne, mais plutôt au tenseur de Reynolds.

Mise en équations[modifier | modifier le code]

En considérant un élément de volume cylindrique, les équations de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie sont écrites sous la forme suivante:


\frac{d(\rho b^2 u)}{dz}=2 \rho_\infty b u_e
.

\frac{d(\rho b^2 u^2)}{dz}=g b^2(\rho_\infty-\rho)
.

\frac{d}{dz}\left(b^2 u (\rho_\infty-\rho)\right)=0
.

Selon l'hypothèse de Morton, la vitesse d'entrainement u_e est proportionnelle à la vitesse locale du panache, ainsi 
u_e=\alpha_e u

  • z est la distance verticale;
  • \rho est la densité locale du panache;
  • \rho_\infty est la densité du milieu ambiant, considéré constante dans le cas homogène non stratifié;
  • u désigne la vitesse du panache, elle possède une seule composante suivant z;
  • b représente le rayon du panache qui délimite la frontière avec le milieu ambiant;
  • \alpha_e désigne le coefficient d'entrainement ou appelé aussi le taux d'aspiration du fluide ambiant;
  • g est l'accélération de la pesanteur;

Michaux et al.[5] ont donné une formulation générale du problème, dans le cadre ou non de l'approximation de Boussinesq, ils ont introduit le rayon modifié \beta, le déficit de densité adimensionnel \eta et le coefficient d'entrainement corrigé définis respectivement par:

\beta =\left(\frac{\rho}{\rho_\infty}\right)^\frac{j}{2}b

\eta =\frac{\Delta \rho}{\rho_\infty} \left(\frac{\rho_\infty}{\rho}\right)^j

\alpha_e =\left(\frac{\rho}{\rho_\infty}\right)^\frac{j}{2}\alpha,

tel que j=0 dans le cas de l'approximation de Boussinesq, et j=1 dans le cas non-Boussinesq.

\Delta \rho désigne l'écart entre la densité du milieu ambiant et celle du panache.

Le système d'équations différentielles précédent devient ainsi:


\frac{d(u \beta^2)}{dz}=2\alpha \beta u


\frac{d(u^2 \beta^2)}{dz}=g\eta \beta^2


\frac{d(\eta u \beta^2)}{dz}=0

Résolution[modifier | modifier le code]

Introduction de la fonction panache \Gamma[modifier | modifier le code]

En introduisant la fonction panache définie par:


\Gamma=\frac{5g}{8\alpha}\frac{\eta \beta}{u^2}

Cette fonction n'est en fait qu'un nombre de Richardson normalisé, il traduit la compétition entre les effets de flottabilité et de quantité de mouvement.

Pour des faibles valeurs de \Gamma, l'effet de la quantité de mouvement est prépondérant par rapport à celui de flottabilité, tandis que pour des fortes valeurs de \Gamma, l'effet de flottabilité domine.

Forme d'un panache paresseux (\Gamma_i>1) avec présence d'un col (section minimale)
Forme d'un panache forcé (\Gamma_i<1)
Forme d'un panache pur (\Gamma=1)
Variations de la fonction panache en fonction de l'altitude pour un panache paresseux, forcé ou pur

Les équations différentielles qui régissent l'écoulement peuvent s'exprimer directement en fonction de \Gamma:


\frac{d\beta}{dz}=\frac{4\alpha}{5}\left(\frac{5}{2}-\Gamma\right)


\frac{du}{dz}=\frac{8\alpha}{5} \frac{u}{\beta}\left(\Gamma-\frac{5}{4}\right)


\frac{d\eta}{dz}=-\frac{2\alpha \eta}{\beta}

Ces dernières équations traduisent que le rayon modifié possède une valeur minimale (un col) et ceci correspond à \Gamma=5/2, et que la vitesse atteint une valeur maximale à l'endroit ou \Gamma=5/4, autrement dit, il y' a accélération de l'écoulement jusqu'à atteindre une valeur maximale, ceci a lieu juste après la section minimale.

L'équation définissant la fonction panache couplée avec ces dernières équations permet d'obtenir une équation différentielle en \Gamma


\frac{1}{\Gamma}\frac{d\Gamma}{dz}=\frac{4\alpha}{\beta}(1-\Gamma)

L'avantage de l'introduction de la fonction panache est de pouvoir exprimer toutes les autres grandeurs uniquement en fonction de\Gamma.

ainsi:

\frac{\eta}{\eta_i}=\left(\frac{\Gamma_i}{\Gamma} \frac{1-\Gamma}{1-\Gamma_i}\right)^\frac{1}{2}

\frac{u}{u_i}=\left(\frac{\Gamma_i}{\Gamma}\right)^\frac{1}{2} \left(\frac{1-\Gamma}{1-\Gamma_i}\right)^\frac{1}{10}

\frac{\beta}{\beta_i}=\left(\frac{\Gamma}{\Gamma_i}\right)^\frac{1}{2} \left(\frac{1-\Gamma_i}{1-\Gamma}\right)^\frac{3}{10}

L'indice i désigne la valeur de la variable au niveau de la source.

Il est ainsi possible de déterminer les valeurs de la vitesse maximale et de la section minimale:


\frac{u_{max}}{u_i}=\frac{u\left(\Gamma=\cfrac{5}{4}\right)}{u_i}=\left(\cfrac{4\Gamma_i}{5}\right)^\frac{1}{2} \left(\cfrac{1}{4(\Gamma_i-1)}\right)^\frac{1}{10},


\frac{\beta_{min}}{\beta_i}=\frac{\beta\left(\Gamma=\cfrac{5}{2}\right)}{\beta_i}=\left(\cfrac{5}{2\Gamma_i}\right)^\frac{1}{2}\left(\cfrac{2(\Gamma_i-1)}{3}\right)^\frac{3}{10}

Suivant la valeur de la fonction panache au niveau de la source, \Gamma(z) est la solution de:


\frac{d\Gamma}{dz}=\begin{cases} -\frac{1}{\Lambda_i}\Gamma^\frac{1}{2} (\Gamma-1)^\frac{13}{10} & \text{si }\Gamma_i>1\\ \frac{1}{\Lambda_i}\Gamma^\frac{1}{2} (1-\Gamma)^\frac{13}{10} & \text{si }\Gamma_i<1 \end{cases}

avec

\Lambda_i=\beta_i \frac{|\Gamma_i-1|^\frac{3}{10}}{4\alpha \Gamma_i^\frac{1}{2}}

Différentes configurations des panaches verticaux[modifier | modifier le code]

L'introduction de la fonction panache permet de savoir la nature du panache suivant la valeur de \Gamma_i.

  • Pour \Gamma_i>1, la fonction \Gamma est strictement décroissante, elle tend vers l'unité par valeurs supérieures lorsque z tend vers l'infini. Ceci signifie que l'effet de flottabilité est dominant à proximité de la source. Le panache est dit paresseux (lazy).
  • Pour \Gamma_i<1, la fonction \Gamma est strictement croissante, elle tend de même vers l'unité par valeurs inférieures lorsque z tend vers l'infini. Le comportement du jet domine au voisinage de la source et l'effet de flottabilité est négligeable devant celui de quantité de mouvement, mais plus loin de la source, les deux flux s'équilibrent, et la fonction panache tend vers l'unité. Le panache est dit dans ce cas forcé.
  • Pour \Gamma_i=1, la fonction \Gamma est constamment constante et valant l'unité, indépendamment de l'altitude z, les deux flux sont toujours équilibrés et le panache est dit pur. C'est uniquement dans ce cas que des solutions analytiques exactes peuvent être retrouvées.

Solution semi-analytique[modifier | modifier le code]

La solution du problème est donnée par :


\zeta=\begin{cases} \mathfrak{N}(\Gamma)-\mathfrak{N}(\Gamma_i) & \text{si } \Gamma_i>1\\\mathfrak{T}(\Gamma)-\mathfrak{T}(\Gamma_i)& \text{si } \Gamma_i<1 \end{cases}

avec


\mathfrak{N}(a)=\int_{a}^{\infty} t^{-\frac{1}{2}}(1-t)^{-\frac{13}{10}}\mathrm dt=B\left(\cfrac{1}{a};\cfrac{1}{5},-\cfrac{3}{10}\right)


\mathfrak{T}(a)=\int_{0}^{a} t^{-\frac{1}{2}}(1-t)^{-\frac{13}{10}}\mathrm dt=B\left(a;\cfrac{1}{2},-\cfrac{3}{10}\right),


tel que B(x;a,b) désigne la fonction bêta incomplète de paramètres a et b.

Il existe une autre formulation pour écrire ces deux équations précédentes d'une façon unique en remplaçant \Gamma par son inverse dans le cas forcé, ceci va permettre d'effectuer une seule résolution à la fois.


\frac{d\Gamma}{d\zeta}=-\Gamma^q (\Gamma-1)^r

\zeta=\frac{z}{\Lambda_i} et q=\frac{1}{2} pour le cas lazy et q=\frac{1}{5} pour le cas forcé, r vaut pour les deux cas \frac{13}{10}.

ainsi


\zeta=\mathfrak{R}(\Gamma)-\mathfrak{R}(\Gamma_i)
avec \mathfrak{R}(a)=B\left(\frac1a; q, -r\right)

Des solutions analytiques asymptotiques raccordées, déterminées par la méthode des perturbations ont été données par Candelier et al.[6].

Résolution dans le cas d'un panache pur[modifier | modifier le code]

La fonction de panache vaut constamment l'unité, la résolution analytique donne directement les variations de \beta, de u et de \eta en fonction de z.


\frac{\beta}{\beta_i}=1+\frac{6\alpha z}{5\beta_i}


\frac{u}{u_i}=\frac{1}{\left(1+\cfrac{6\alpha z}{5\beta_i}\right)^\frac{1}{3}}


\frac{\eta}{\eta_i}=\frac{1}{\left(1+\cfrac{6\alpha z}{5\beta_i}\right)^\frac{5}{3}}

Modélisation numérique[modifier | modifier le code]

Les progrès de l'informatique et de la prévision météorologique permettent de maintenant mieux modéliser le déplacements de ces panaches (quand ils sont importants et tant qu'ils ne sont pas trop dilués)[7],[8], y compris pour une couche donnée d'altitude[9].

Annexes[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

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Références[modifier | modifier le code]

  1. (en)H. ROUSE, C. S. YIH and H. W. HUMPHREYS. Gravitational Convection from a Boundary Source. Tellus, 4: 201–210. doi: 10.1111/j.2153-3490.1952.tb01005.x (1952).
  2. (en)B. R. Morton, G. I. Taylor and J. S. Turner. Turbulent gravitational convection from maintained and instantaneous sources. Proc. R. Soc. Lond. A 234, 1-23 (1956).
  3. (en)G. I. Taylor. Dynamics of a mass of hot gas rising in air. US. Atomic Energy Commission MDDC 919. LADC 276 (1945).
  4. (en)B. R. Morton B. R. On similarity and the outer boundary conditions for flow in plumes. Tellus 20, 367-369 (1968).
  5. (en)G. Michaux, G. an O. Vauquelin. Solutions for turbulent buoyant plumes rising from circular sources. Phys. Fluids 20, 066601 (2008).
  6. (en)F. Candelier and O. Vauquelin. Mached asymptotic solutions for turbulent plumes. J. Fluid Mech. 699, 489-499 (2012).
  7. (fr)Exemple de modélisation prévisionnelle du déplacement du panache de l'Eyjafjöll : animation montrant le déplacement du panache pour la semaine du 16 au 21 avril 2010 (INERIS, consulté le 23 avril 2010)
  8. (fr)Modélisation du même panache de cendres - impact au sol (INERIS, consulté le 23 avril 2010)
  9. (fr)Exemple de modélisation du déplacement d'une nuage de cendre de l'Eyjafjöll à cinq kilomètres d'altitude du 19 au 21 avril 2010 (INERIS, consulté le 23 avril 2010)