Paire de Ruth-Aaron

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En mathématiques, une paire de Ruth-Aaron est constituée de deux entiers consécutifs (par exemple 714 et 715) pour lesquels les sommes des facteurs premiers de chaque entier sont égales.

714 = 2 × 3 × 7 × 17
715 = 5 × 11 × 13
et 2 + 3 + 7 + 17 = 5 + 11 + 13 = 29

Si les facteurs premiers distincts sont seulement comptés, les premières paires de Ruth-Aaron sont :

(5, 6), (24, 25), (49, 50), (77, 78), (104, 105), (153, 154), (369, 370), (492, 493), (714, 715), (1682, 1683), (2107, 2108)

(Le nombre moindre de chaque paire est listé dans la suite A006145 de l'OEIS).

En comptant les facteurs premiers répétés (par exemple 8 = 2×2×2 et 9 = 3×3 avec 2+2+2 = 3+3), les premières paires de Ruth-Aaron sont :

(5, 6), (8, 9), (15, 16), (77, 78), (125, 126), (714, 715), (948, 949), (1330, 1331)

(Le nombre moindre de chaque paire est listé dans la A039752).

Ces nombres ont été nommés par Carl Pomerance en l'honneur de Babe Ruth et Hank Aaron, deux joueurs de baseball parce que le nombre total de coups de circuit de la carrière en saison régulière de Babe Ruth était égal à 714, un record que Aaron éclipsa le 8 avril 1974, lorsqu'il frappa le 715e coup de circuit de sa carrière. Pomerance était un mathématicien de l'Université de Géorgie au moment où Aaron dépassa le record de Ruth. Un des étudiants des collègues de Pomerance nota que les sommes des facteurs premiers de 714 et de 715 étaient égales.

Triplets de Ruth-Aaron[modifier | modifier le code]

Les triplets de Ruth-Aaron (recouvrant les paires de Ruth-Aaron) existent aussi. Le premier et le deuxième, lorsque l'on compte des facteurs premiers distincts :

89460294 = 2 × 3 × 7 × 11 × 23 × 8419
89460295 = 5 × 4201 × 4259
89460296 = 2 × 2 × 2 × 31 × 43 × 8389
et 2 + 3 + 7 + 11 + 23 + 8419 = 5 + 4201 + 4259 = 2 + 31 + 43 + 8389 = 8465
151165960539 = 3 × 11 × 11 × 83 × 2081 × 2411
151165960540 = 2 × 2 × 5 × 7 × 293 × 1193 × 3089
151165960541 = 23 × 29 × 157 × 359 × 4021
et 3 + 11 + 83 + 2081 + 2411 = 2 + 5 + 7 + 293 + 1193 + 3089 = 23 + 29 + 157 + 359 + 4021 = 4589

(Le nombre moindre de chaque paire est listé dans la suite A227654 de l'OEIS).

Les deux premiers triplets de Ruth-Aaron lorsque l'on compte des facteurs premiers répétés :

417162 = 2 × 3 × 251 × 277
417163 = 17 × 53 × 463
417164 = 2 × 2 × 11 × 19 × 499
et 2 + 3 + 251 + 277 = 17 + 53 + 463 = 2 + 2 + 11 + 19 + 499 = 533
6913943284 = 2 × 2 × 37 × 89 × 101 × 5197
6913943285 = 5 × 283 × 1259 × 3881
6913943286 = 2 × 3 × 167 × 2549 × 2707
et 2 + 2 + 37 + 89 + 101 + 5197 = 5 + 283 + 1259 + 3881 = 2 + 3 + 167 + 2549 + 2707 = 5428

Ce sont les deux seuls triplets inférieurs à 1013.

Références[modifier | modifier le code]