Ordre moyen d'une fonction arithmétique

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En théorie des nombres, un ordre moyen d'une fonction arithmétique est une fonction simple approchant la fonction de départ en moyenne.

Plus précisément un ordre moyen d'une fonction arithmétique f est une fonction « simple » g, si possible restriction aux entiers d'une fonction continue et monotone, telle qu'on ait  :

\sum_{k=1}^{n} f(k)\quad\underset{n\to+\infty}\sim\quad\sum_{k=1}^{n} g(k)

Autrement dit (en divisant par n), les moyennes arithmétiques de f et g entre 1 et n sont asymptotiquement équivalentes. Une telle fonction g n'est bien entendu pas unique.

Exemples[modifier | modifier le code]

"Courbe" de la somme des diviseurs \sigma(n), avec l'ordre moyen n \pi^2/6 en rouge, n+1 correspondant aux nombres premiers en vert, et 2n correspondant aux nombres parfaits en jaune.

Meilleur ordre moyen[modifier | modifier le code]

Cette notion peut être présentée à l'aide d'un exemple. De

 \sum_{n\le x}\tau(n)=x\ln x+(2\gamma-1)x+o(x)

(\gamma est la constante d'Euler-Mascheroni) et

 \sum_{n\le x}\log n=x\ln x-x+O(\log x),

on tire la relation asymptotique

\sum_{n\le x}(\tau(n)-(\ln n+2\gamma))=o(x)\quad(x\rightarrow\infty),

qui suggère que la function \ln n+2\gamma est un meilleur choix d'ordre moyen pour \tau(n) que simplement \ln n.

Références[modifier | modifier le code]