Opérateur non borné

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En analyse fonctionnelle, un opérateur non borné est une application linéaire partiellement définie.

Plus précisément, soient X,Y deux espaces vectoriels. Un tel opérateur est donné par un sous espace \text{dom}(T) de X et une application linéaire dont l'ensemble de définition est \text{dom}(T) et l'ensemble d'arrivée est Y.

Exemple[modifier | modifier le code]

Considérons T de L^2(\R) dans lui-même, défini sur \text{dom}(T) = H^1(\R) l'espace de Sobolev des fonctions L^2 qui admettent une dérivée au sens des distributions qui appartient à L^2(\R). On pose T(f) = f' (dérivée au sens des distributions). T est un opérateur non borné.

Opérateurs fermés[modifier | modifier le code]

La classe des opérateurs fermés (en) est l'analogue non borné des opérateurs continus.

Soient E,F des espaces de Banach. Un opérateur non borné T de E vers F est dit fermé si son graphe est un sous-espace fermé de E \times F.

Adjoint d'un opérateur non borné[modifier | modifier le code]

Dans le cas d'un opérateur non borné sur un espace de Hilbert H, si D(T) est dense, on peut définir son opérateur adjoint T^* en posant :

 D(T^*) = \{ \phi \in H | \exists \eta \in H :\forall \psi \in D(T), < T \psi, \phi> = <\psi,  \eta> \}.

Pour un \phi~ donné, si un tel \eta existe, alors il est unique et on pose T^*(\phi)=\eta. Par le théorème de Hahn-Banach et le théorème de représentation de Riesz, nous voyons également que \eta existe si et seulement s'il existe une constante C telle que quel que soit \psi,  |< T \psi , \phi>|  \leqslant C \| \psi \| .

Théorème de von Neumann — Soit T un opérateur (non borné) fermé d'un espace de Hilbert dans un autre. Si T est de domaine dense alors T*T l'est aussi et est autoadjoint.

Commutation d'opérateurs auto-adjoints non bornés[modifier | modifier le code]

La « bonne définition » de la commutation des opérateurs auto-adjoints non bornés est donnée par le théorème suivant :

Commutation des opérateurs non bornés —  Les propriétés suivantes sont équivalentes :

  • A et B commutent
  • Si les parties imaginaires de \lambda et \mu sont non nulles, R_\lambda(A) R_\mu(B) = R_\mu(B) R_\lambda(A)
  • Quels que soient s,t réels, e^{it A} e^{is B} = e^{is B} e^{it A}

Un exemple de Nelson prouve en revanche :

Il existe des opérateurs essentiellement autoadjoints A:D\to D et B:D\to D sur un ensemble dense D, tels que

  • A B \varphi-B A \varphi = 0 quel que soit \varphi \in D, mais
  • A ne commute pas avec B.

Cet exemple prouve que la commutation de deux opérateurs non bornés est quelque chose de très délicat.

Références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

Analyse fonctionnelle et théorie spectrale [PDF] B. Maurey, université Paris 7. Le chapitre 11 présente les opérateurs non bornés auto-adjoints.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Opérateur borné