Opérateur d'évolution

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En mécanique quantique, l'opérateur d'évolution est l'opérateur qui transforme l'état quantique au temps t_0 en l'état quantique au temps t résultant de l'évolution du système sous l'effet de l'opérateur hamiltonien.

Position du problème[modifier | modifier le code]

On considère un hamiltonien composé de deux termes :

 \hat H = \hat H_0 + \hat V(t)

où la dépendance temporelle est contenue dans  \hat V(t) .

Quand  \hat V(t) = 0 , le système est complètement connu par ses kets  |n \rangle propres et ses valeurs propres E_n :

 \hat H_0 |n \rangle = E_n |n \rangle

Définition[modifier | modifier le code]

Cet opérateur est noté U(t,t_0) et on a la relation, qui donne l'état du système au temps t à partir du temps initial t_0 :

 \mid \psi(t) \rangle=U(t,t_0) \mid \psi (t_0) \rangle

  •  | \psi(t) \rangle représente le ket au temps t
  •  | \psi(t_0) \rangle représente le ket au temps t_0

Pour le bra, on a alors la relation suivante :

 \langle \psi(t) | = \langle \psi(t_0) |U^{\dagger}(t,t_0)

Propriétés[modifier | modifier le code]

L'opérateur a les propriétés suivantes :

  1. C'est un opérateur linéaire
  2. U(t_0,t_0)=1
  3.  U(t_2,t_1)U(t_1,t_0)=U(t_2,t_0)
  4. U(t,t_0) est un opérateur unitaire (U^\dagger U=U U^\dagger=1).

Les trois premières propriétés sont des conséquences évidentes de l'équation d'évolution du premier ordre. La dernière propriété vient de ce que la probabilité totale doit être conservée par l'équation d'évolution.

Comme le système est donné par l'équation de Schrödinger, on a :

 i\hbar \frac{\partial }{\partial t} | \psi (t) \rangle = \hat H  | \psi (t) \rangle , soit :
 i\hbar \frac{\partial U(t,t_0)}{\partial t} = \hat H U(t,t_0)

Dans le cas d'un système quantique dont l'opérateur Hamiltonien \hat H est indépendant du temps, l'opérateur d'évolution s'écrit alors :

 U(t,t_0)=e^{-\frac i \hbar \hat H(t-t_0)}

Pour un système dont le Hamiltonien est dépendant du temps, on peut résoudre par itération l'équation différentielle satisfaite par l'opérateur U. On obtient :

 U(t,t_0)=1-\frac i \hbar \int_{t_0}^t dt_1 \hat H(t_1) +\frac {i^2}{\hbar^2} \int_{t_0}^t dt_1 \int _{t_0}^{t_1} dt_2 \hat H(t_1) \hat H(t_2) + \ldots +\frac{i^n}{\hbar^n} \int_{t_0}^t dt_1 \ldots \int_{t_0}^{t_{n-1}} dt_n \hat H(t_1) \ldots \hat H(t_n)

L'écriture de cette expression peut etre simplifiée en introduisant l'opérateur de produit chronologique tel que :

 T(\hat H(t_1) \hat H(t_2) \ldots \hat H(t_n)) = \hat H(t_{\sigma(1)}) \hat H(t_{\sigma(2)}) \ldots \hat H(t_{\sigma(n)})

où dans le membre de gauche l'ordre des temps est quelconque, et dans le membre de droite le permutation \sigma de l'ensemble \lbrace 1,\ldots,n\rbrace est telle que :t_{\sigma(1)}>t_{\sigma(2)}>\ldots >t_{\sigma(n)}.

On a alors :

 U(t,t_0)=T \exp\left(-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t dt' \hat H(t')\right)

Cette relation est utilisée en théorie quantique des champs pour la construction des diagrammes de Feynman.

Lien avec les autres représentations[modifier | modifier le code]

L'opérateur d'évolution permet d'établir l'équivalence entre la représentation de Schroedinger et la représentation de Heisenberg. Dans la représentation de Schrödinger, les opérateurs sont indépendants du temps et les états sont dépendants du temps. Dans la représentation de Heisenberg, les opérateurs sont dépendants du temps et les états indépendants du temps. Le passage d'une représentation à l'autre se fait au moyen de l'opérateur d'évolution :

 \mid \psi \rangle_S(t)=U(t,0)\mid \psi \rangle_H
 A_H(t)=U^\dagger(t,0) A_S U(t,0)
Représentation :
Heisenberg Interaction Schrödinger
Ket constant |\Psi(t)\rangle_I = U_0^{-1} |\Psi(t)\rangle_S |\Psi(t)\rangle_S = U |\Psi(t_0)\rangle_S
Observable A_H (t)=U^{-1} A_S U A_I (t)=U_0^{-1} A_S U_0 constant
Opérateur d'évolution  \hat H = \hat H_0 + \hat V(t) U(t,t_0) = e^{-\frac i \hbar \hat H(t-t_0)}
U_0(t,t_0) = e^{-\frac i \hbar \hat H_0(t-t_0)}
Mécanique quantique  : Théorème d'EhrenfestÉquation de SchrödingerPropagateur

Bibliographie[modifier | modifier le code]