Noyau (statistiques)

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Un noyau est une fonction de pondération utilisée dans les techniques d'estimation non-paramétrique. Les noyaux interviennent dans l'estimateur par noyau pour estimer la densité de probabilité d'une variable aléatoire, ou encore dans la régression paramétrique (à noyau) pour estimer des espérances conditionnelles. Pour les séries temporelles, le noyau permet d'estimer la densité spectrale.

Définition[modifier | modifier le code]

Un noyau est une fonction non-négative, intégrable et à valeurs réelles, notée K, qui doit vérifier les deux conditions suivantes:

  • \int_{-\infty}^{+\infty}K(u)du = 1\,;
  • K(-u) = K(u) pour toutes les valeurs de u.

La première condition assure que l'estimation à noyau soit bien une densité de probabilité.

Si K est un noyau, alors il en ira de même pour K*, défini par K*(u) = λ−1K−1u), où λ > 0. Cette méthode permet de choisir une échelle adaptée aux données.

Les différents noyaux courants[modifier | modifier le code]

Plusieurs types de noyaux sont couramment utilisés: uniforme, triangle, epanechnikov, quadratique, cubique, gaussien, et circulaire.

Ci-dessous, on note 1_{(p)}\,\! la fonction indicatrice qui vaut 1 lorsque p est vrai, 0 sinon.

Uniforme[modifier | modifier le code]

K(u) = \frac{1}{2}\ 1_{(|u|\leq1)}

Triangle[modifier | modifier le code]

K(u) = (1-|u|)\ 1_{(|u|\leq1)}

Epanechnikov[modifier | modifier le code]

K(u) = \frac{3}{4}(1-u^2)\ 1_{(|u|\leq1)}

Quadratique[modifier | modifier le code]

K(u) = \frac{15}{16}(1-u^2)^2\ 1_{(|u|\leq1)}

Cubique[modifier | modifier le code]

K(u) = \frac{35}{32}(1-u^2)^3\ 1_{(|u|\leq1)}

Gaussien[modifier | modifier le code]

K(u) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}u^2}

Circulaire[modifier | modifier le code]

K(u) = \frac{\pi}{4}\cos\left(\frac{\pi}{2}u\right)1_{(|u|\leq1)}

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]