Norme (arithmétique)

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En mathématiques la norme est une notion utilisée en théorie de Galois ou en théorie algébrique des nombres.

La théorie classique de Galois étudie des extensions finies d'un corps K. Une telle extension L est un sur-corps de K qui est de dimension finie en tant que K-espace vectoriel. La norme relative à cette extension est l'application de L dans K qui à un élément l associe le déterminant de l'endomorphisme de multiplication par l.

En arithmétique, elle intervient de façon cruciale dans la théorie des corps de classes : les sous-extensions abéliennes d'une extension donnée sont essentiellement en correspondance avec des groupes de normes, c'est-à-dire l'image dans K, par la norme, de certains groupes de L.

Cette notion s'étend en une notion de norme d'un idéal de l'anneau des entiers d'un corps de nombres (c'est-à-dire d'une extension finie du corps ℚ des rationnels), de telle façon que la norme d'un idéal principal soit égale à la norme relative sur ℚ d'un générateur de cet idéal. On démontre que la norme d'un idéal non nul est égale au cardinal de l'anneau quotient, et qu'elle est multiplicative. La démonstration de la finitude du groupe des classes utilise des propriétés de majoration de la norme des idéaux dans une classe donnée.

Définitions[modifier | modifier le code]

Soit K un corps commutatif, L une extension finie. Une première définition est la suivante :

  • La norme, relative à l'extension, d'un élément l de L, est le déterminant de l'endomorphisme φl du K-espace vectoriel L qui à x associe lx. Elle est généralement notée NL/K(l).
    C'est donc un élément de K, égal au produit des racines du polynôme caractéristique χl de φl (comptées avec leurs multiplicités, et dans une extension où χl est scindé).

La norme d'un élément algébrique sur K peut être définie sans référence à la donnée d'une extension L ; on ne parle alors plus de norme relative mais de norme[réf. nécessaire], bien qu'elle soit encore relative (à K)[1] :

  • La norme d'un élément l algébrique (sur K) est sa norme relative à l'extension K[l].[réf. souhaitée] Elle est parfois notée N(l).
    C'est donc le produit des racines du polynôme minimal P de l sur K. (En effet, pour L = K[l] de degré d, (1, l, 2, … , ld – 1) est une base dans laquelle la matrice de φl est la matrice compagnon de P, donc χl = P.)

Cette définition s'applique encore si le nombre est un entier algébrique ; la norme est alors entière. Elle se généralise de façon naturelle (cf. § Théorie algébrique des nombres) aux idéaux de l'anneau OL des entiers algébriques d'un corps de nombres L et l'on démontre alors la caractérisation :

  • La norme d'un idéal non nul J de OL est le cardinal (fini) de l'anneau quotient OL/J.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Cas séparable[modifier | modifier le code]

Du lien entre la norme d'un élément et son polynôme minimal, on déduit immédiatement :

Plus généralement[2] :

  • Si L est séparable sur K et si S désigne l'ensemble des K-plongements de L dans une sur-extension normale alors, pour tout élément l de L,
\mathcal N_{L/K}(l)=\prod_{\sigma\in S}\sigma(l).

Relations entre normes[modifier | modifier le code]

La norme relative hérite de la multiplicativité du déterminant :

  • La norme relative du produit de deux éléments de L est égale au produit des normes relatives de ces deux éléments.
    \mathcal N_{L/K}(l_1)~\mathcal N_{L/K}(l_2) = \mathcal N_{L/K}(l_1l_2).

Si L est de degré n sur K[l] alors NL/K(l) = N(l)n. Plus généralement, le calcul immédiat du déterminant d'une matrice diagonale par blocs donne :

  • Si L est de degré n sur une extension intermédiaire F alors, pour tout élément f de F :
    \mathcal N_{L/K}(f)=\mathcal N_{F/K}(f)^n=\mathcal N_{F/K}(f^n).

En prenant pour F la fermeture séparable de K dans L, ceci permet de généraliser le cas séparable ci-dessus[3] :

  • Si n est le degré d'inséparabilité de L sur K et si S désigne l'ensemble des K-plongements de L dans une sur-extension normale alors, pour tout élément l de L,
\mathcal N_{L/K}(l)=\prod_{\sigma\in S}\sigma(l)^n.

Pour une extension intermédiaire F quelconque, en appliquant cette formule à la fois à L/K, L/F et F/K, on peut alors décrire la norme relative de tout élément de L, par la formule de composition des normes[4] :

Théorie algébrique des nombres[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorie algébrique des nombres.

Dans toute cette section, K est le corps ℚ des rationnels donc l'extension finie L est un corps de nombres. On considère l'anneau OL des entiers algébriques de L. Un cas particulier simple est étudié dans l'article « Entier quadratique ».

  • La norme d'un entier algébrique et sa norme relative, pour tout corps de nombres L qui le contient, sont des entiers relatifs.
    En effet, au signe près, la norme de α est égale au coefficient constant de son polynôme minimal – qui pour un entier algébrique est à coefficients entiers – et la norme relative en est une puissance.

Dans cette situation et si α est non nul, sa norme relative est aussi (par définition) le déterminant, dans une base B du ℤ-module OL, de la base αB du sous-module αOL. Les matrices de changement de base de ces modules étant dans le groupe linéaire de ℤ, leurs déterminants valent ±1. Il est donc naturel d'étendre comme suit la définition de la norme relative à des idéaux :

  • La norme d'un idéal non nul J de OL est la valeur absolue du déterminant, dans une base du ℤ-module OL, d'une base du sous-module J.

C'est donc un entier naturel et, si J est principal, cet entier est égal à la valeur absolue de la norme relative d'un générateur.

On démontre alors la caractérisation annoncée :

  • Pour tout idéal non nul J de OL, le quotient OL/J est fini, de cardinal égal à la norme de J.

(Cette propriété peut s'interpréter géométriquement en disant que le nombre de points du réseau OL qui appartiennent à un domaine fondamental du sous-réseau J est égal au volume relatif de ce domaine fondamental : cf. § « Volume fondamental » de l'article « Réseau (géométrie) ».)

Le cas particulier des entiers quadratiques, plus simple, est étudié dans l'article Idéal de l'anneau des entiers d'un corps quadratique.

La propriété de multiplicativité est conservée :

  • Soit J1 et J2 deux idéaux non nuls de OL, l'égalité suivante est vérifiée :
    \mathcal N_{L/\Q} (J_1\cdot J_2) = \mathcal N_{L/\Q} (J_1)~\mathcal N_{L/\Q} (J_2).

Applications[modifier | modifier le code]

Les normes permettent parfois d'établir le caractère euclidien de certains anneaux d'entiers. Tel est le cas par exemple pour les entiers de Gauss, d'Eisenstein et les entiers de ℚ(5).

Dans le cas plus général des corps quadratiques, la norme aide à élucider la structure de l'anneau pour permettre par exemple de résoudre l'équation x2 + 5.y2 = pp est un nombre premier.

D'une manière encore plus générale, la norme est utilisée pour établir les résultats clé de la théorie algébrique des nombres, comme la finitude du groupe des classes d'idéaux de l'anneau des entiers d'un corps de nombres.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Si l appartient à une extension L de K, sa norme sur L est l lui-même. Elle n'est égale à sa norme sur K que si l appartient à K.
  2. (en) Falko Lorenz (de), Algebra : Vol. I: Fields and Galois Theory, Birkhäuser,‎ 2005 (ISBN 978-0-38728930-4, lire en ligne), p. 136
  3. Lorenz 2005, p. 137
  4. Lorenz 2005, p. 138
  5. (en) N. Bourbaki, Elements of Mathematics : Algebra I, Chapters 1-3, Springer,‎ 1990 (ISBN 978-3-54064243-5, lire en ligne), p. 546
  6. Pour une preuve plus directe, voir (en) Helmut Koch (de), Number Theory: Algebraic Numbers and Functions, AMS, coll. « Graduate Studies in Mathematics » (no 24),‎ 2000 (ISBN 978-0-82182054-4, lire en ligne), p. 75.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

Bas Edixhoven et Laurent Moret-Bailly, Théorie algébrique des nombres, cours de maîtrise de mathématiques, université de Rennes 1,‎ 2004 (lire en ligne)