Nombre sphénique

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Un nombre sphénique est un entier strictement positif qui est le produit de trois facteurs premiers distincts.

La définition exige que chacun des trois facteurs premiers ne soit exprimé qu'une seule fois ; par exemple 60 = 2^2 \times 3 \times 5\, possède bien 3 facteurs premiers, mais n'est pas sphénique car le facteur 2 y est deux fois.

Tous les nombres sphéniques ont exactement huit diviseurs. Si nous exprimons un nombre sphénique sous la forme n = p \times q \times r, où p, q et r sont des nombres premiers distincts, alors l'ensemble de ses diviseurs est :

\left\{ 1, \ p, \ q, \ r, \ p q, \ p r, \ q r, \ n \right\}.

Par définition, tous les nombres sphéniques sont des entiers sans facteur carré. L'image d'un nombre sphénique par la fonction de Möbius vaut −1.

Les quelques premiers nombres sphéniques (suite A007304 de l'OEIS) sont : 30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, 230, 231.

On aura :

  • 30 = 2 × 3 × 5
  • 42 = 2 × 3 × 7
  • 66 = 2 × 3 × 11
  • 70 = 2 × 5 × 7
  • 78 = 2 × 3 × 13
  • ...

Les deux premiers nombres sphéniques consécutifs sont 230 = 2 × 5 × 23 et 231 = 3 × 7 × 11.

Les trois premiers sont 1309 = 7 × 11 × 17, 1310 = 2 × 5 × 131 et 1311 = 3 × 19 × 23.

Il est impossible d'avoir quatre nombres sphéniques consécutifs, puisque sur quatre entiers strictement positifs consécutifs, il y en a un divisible par 4 = 2 × 2 : cet entier ne sera donc pas sans facteur carré.

En février 2013, le plus grand nombre sphénique connu est (257 885 161 − 1) × (243 112 609 − 1) × (242 643 801 − 1), puisque c'est le produit des trois plus grands nombres premiers connus.


(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Sphenic number » (voir la liste des auteurs)